Centrale Mathématiques 2 TSI 2000

Dans tout le problème, désigne le plan affine euclidien rapporté à son repère orthonormé canonique . On note le complexe de module 1 et d'argument . Si , on note l'image de dans . Si est un souscorps de , on note l'espace vectoriel sur des matrices de taille ( ) à coefficients dans et le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. On note le -espace vectoriel des vecteurs colonnes complexes de taille . Enfin, si est une matrice carrée à coefficients complexes de taille , on note la trace, c'est-à-dire .

Le plus souvent, il sera possible, si nécessaire, d'admettre les résultats d'une question pour traiter les suivantes.

I.A.1) Déterminer la dimension de ; on prouvera soigneusement le résultat annoncé.
Soit et inversibles et dans , on dit que est harmonique relativement à s'il existe une base ( ) de telle que et .
I.A.2) Soit et deux matrices inversibles de et une matrice inversible de . Montrer que PMP et PNP sont deux matrices inversibles de .
Si, de plus, est harmonique relativement à , montrer que est harmonique relativement à .
On suppose dans les deux questions qui suivent que et sont inversibles et dans , avec

I.B.1) On suppose que est de la forme . Montrer que ; on pose .
Montrer que est la réunion de deux sous-espaces vectoriels du -espace vectoriel , puis décrire les bases ( ) de telles que et soient dans . En déduire que est harmonique relativement à si et seulement si .
I.B.2) On suppose que est de la forme

On note une racine carrée de . En utilisant les scalaires déterminer . En s'inspirant du I.B.1, montrer que est harmonique relativement à si et seulement si .
I.B.3) En conclure que est harmonique relativement à si et seulement si est harmonique relativement à .
I.C - Montrer que est harmonique relativement à si et seulement si .
Vu la symétrie de la propriété, si est harmonique relativement à , nous dirons jusqu'à la fin de cette partie que et sont conjuguées harmoniques.
I.D - Pour donnée, avec inversible, on pose

Montrer que est un sous-espace vectoriel de ; en déterminer la dimension; déterminer ; donner un supplémentaire de dans .
I.E - Soit et dans , inversibles, telles que et soient conjuguées harmoniques chaque fois que . Une telle famille sera dite harmonique.
I.E.1) Dans une famille harmonique, montrer qu'aucune matrice n'est combinaison linéaire des autres.
I.E.2) En conclure que est inférieur ou égal à 3 et que tout triplet harmonique, c'est-à-dire toute famille harmonique à trois éléments, est une base de .
La fin de cette partie consiste en la détermination de l'ensemble des triplets ( ) harmoniques.
I.F - On suppose dans cette question que est de la forme

Montrer que, pour que ( ) soit harmonique, il est nécessaire que et soient respectivement de la forme

Inversement, étant de cette forme, déterminer une CNS sur , pour que le triplet ( ) soit harmonique. Si est de la forme ci-dessus, en déduire tous les couples ( ) tels que ( ) soit harmonique. Dans le cas particulier où les matrices sont à coefficients réels, déterminer le signe de (on distinguera les cas et ).
I.G - Soit ( ) un triplet harmonique et , avec inversible. Montrer que le triplet ( ) est harmonique. En déduire une description de l'ensemble de tous les triplets harmoniques (on utilisera sans démonstration le résultat suivant : si , il existe inversible de telle que soit diagonale). Dans le cas où , dire pourquoi on peut prendre (IR) et diagonale réelle.
Dans le cas particulier où les matrices sont à coefficients réels, montrer que ne peuvent avoir toutes trois un déterminant .
I. - Déterminer .

Soit alors ( ) un triplet harmonique quelconque ; montrer qu'on peut le compléter en une base ( ) de , où est inversible et vérifie

II.A - On se limite dans les questions qui suivent au cas particulier du triplet harmonique ( ) suivant :

On considère les deux équations suivantes :

II.A.1) Montrer que ni (1) ni (2) n'ont 1 ou -1 comme solution ; montrer que (1) et (2) n'ont pas de solution commune.

On note une racine carrée de , et on pose

(ce sont les solutions respectives de (1) et (2)).
II.A.2) Montrer que :
.
Exprimer à l'aide de
, et .
En conclure que : .
II.A.3) On définit par .

Déterminer quand cette expression a un sens.
II.A.4) Simplifier l'expression pour .

En conclure que est solution de (1) si et seulement si est solution de (2).
II.B - On note respectivement les images des complexes 1 , dans .
II.B.1) Montrer qu'un cercle ( ) de passe par et si et seulement s' il a une équation de la forme

Si , on pose . Donner une relation simple entre et .
En conclure que pour si et seulement si .
II.B.2) Montrer que et ne sont pas alignés. En choisissant pour le cercle circonscrit au triangle montrer que sont sur un même cercle , et de même montrer que sont sur un même cercle .
II.B.3) On définit par .

Déterminer le polynôme unitaire de degré 2 , noté , dont les zéros sont et et celui, noté , dont les zéros sont et (chacun de ces polynômes est de la forme , où le coefficient est fonction de seul).
En déduire que les images de ces quatre complexes sont les sommets d'un carré de centre .
Montrer que, les quatre points et sont situés sur un même cercle dont une équation est pour un certain réel . En déduire que, sauf dans un cas particulier que l'on mettra en évidence, les quatre points sont situés sur un même cercle.
II.B.4) On pose et .

Déterminer un réel tel que . En déduire le point d'intersection des droites ( ) et ( ). Montrer que les droites ( ), ( ) et ( ) sont concourantes (on pourra regarder ce que devient lorsque l'on remplace par , et remarquer que ).

On note l'ensemble des matrices inversibles de . Désormais, on ne considérera plus que des éléments de . On dira que et sont conjuguées harmoniques si tr .
On cherche à discuter l'existence, pour donnée, d'une matrice telle que et soient conjuguées harmoniques.
III.A - On donne pour les questions III.A.1, III.A.2, III.A.3, seulement,

et soient conjuguées harmoniques,sous la forme .
III.A.1) Écrire à l'aide des coefficients de et .

Écrire, de même, à l'aide des coefficients de et .
Montrer alors que si et seulement si:

Les coefficients réels étant donnés, montrer que l'existence d'une solution de (3) équivaut à

III.A.2) Conclure quant à l'existence de lorsque les valeurs propres de sont de même signe.
III.A.3) Lorsque , montrer qu'on peut choisir vérifiant les propriétés imposées, avec de plus .
On n'oubliera pas de vérifier l'inversibilité de .
III.A.4) étant un élément donné de , conclure quant à l'existence de telle que et soient conjuguées harmoniques.
III.B - Exemple : on choisit les matrices et sous la forme

où est un réel donné, les réels et étant à déterminer.
III.B.1) Déterminer tous les couples ( ) tels que .
III.B.2) On choisit et on pose .

Montrer qu'il existe inversible et diagonale dans telles que .
Peut-on choisir et réelles?