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Centrale Mathématiques 2 TSI 2007

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GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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Centrale
Année
2007
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2007TSI MathsMaths 2007
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MATHÉMATIQUES II

Définitions et notations

Dans tout le problème désigne un entier naturel non nul et l'espace vectoriel euclidien rapporté à sa base canonique et muni du produit scalaire usuel. On utilisera l'isomorphisme, relativement à la base canonique, entre et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre ; ainsi à tout élément de on associera la matrice colonne notée . On identifiera les matrices carrées d'ordre 1 et et on pourra ainsi écrire le produit scalaire entre deux vecteurs de sous la forme: .
  • On désigne par l'ensemble des matrices orthogonales carrées d'ordre et par la matrice unité d'ordre .
  • On notera l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre symétriques et l'espace des endomorphismes de admettant dans la base canonique une matrice symétrique réelle. Ils seront dits symétriques. On notera (respectivement ) l'ensemble des endomorphismes dont les valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives). et seront les espaces des matrices associées dans la base canonique.
  • Pour tout -uplet , on notera la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont, dans cet ordre, .
    Toutes les questions précédées de la mention «Application» peuvent être traitées en admettant éventuellement les résultats qui les précèdent.

Partie I - Décomposition d'un isomorphisme de E

I.A - Racine positive d'une matrice symétrique réelle positive

Dans cette section on se propose d'étudier l'existence et l'unicité de solutions dans à l'équation matricielle ( ) : où désigne une matrice symétrique réelle positive fixée. On notera l'unique endomorphisme de de matrice relativement à la base canonique.

Filière TSI

I.A.1)

a) Montrer l'existence d'une famille de réels positifs et d'une matrice dans tels que : .
b) On pose : . Montrer que est une solution de ( ). I.A.2) On considère une solution de ( ) et l'unique endomorphisme de de matrice dans la base canonique.
a) Justifier la relation .
b) Montrer que tout vecteur propre de est un vecteur propre de et préciser la relation entre les valeurs propres associées.
c) En déduire que, pour toute valeur propre de , il existe un unique réel positif tel que l'espace propre de associé à soit égal à celui de associé à . Montrer aussi qu'il existe une base de formée de vecteurs propres communs à et .
d) Déduire de ce qui précède que ( ) admet une solution unique qui sera appelée racine positive de .
I.A.3) Application : on considère
Montrer que c'est un élément de et calculer sa racine positive.

I.B - Endomorphisme exponentiel d'un endomorphisme symétrique réel

Dans toute cette section, est un endomorphisme symétrique, est sa matrice dans la base canonique et désigne une base orthonormale de vecteurs propres pour .
I.B.1)
a) Montrer qu'il existe une famille de réels tels que la matrice de dans soit .
b) On note alors l'unique endomorphisme de dont la matrice dans est . Montrer que et ont les mêmes espaces pro-
pres et qu'on définit bien ainsi un unique endomorphisme symétrique strictement positif, indépendamment du choix de .
c) Déterminer lorsque est l'endomorphisme nul et lorsque est l'identité sur .
d) Montrer que est inversible d'inverse .
e) Vérifier la relation .
On notera désormais l'application de dans qui, à un endomorphisme symétrique, associe son endomorphisme exponentiel.
I.B.2) Application. Dans cette unique question on pose
Déterminer la matrice de dans la base canonique en fonction de et sh(1).
I.B.3) Dans cette question est un endomorphisme orthogonal de et on note .
a) Vérifier que est un endomorphisme symétrique.
b) Montrer que est une base orthonormale de vecteurs propres pour et exprimer la matrice de dans cette base. En déduire la matrice de dans .
c) Exprimer la matrice de dans . Conclure.
d) Montrer que est surjective.
e) En considérant les espaces propres respectifs de et de , montrer que est injective.

I.C - Décomposition d'un isomorphisme réel

Dans cette section est un isomorphisme de et désigne sa matrice dans la base canonique.
I.C.1)
a) Montrer que est un élément de .
b) Montrer qu'il existe un unique élément de tel que .
c) On pose . Montrer que ainsi définie est élément de .
d) Déduire de ce qui précède l'existence et l'unicité d'un couple ( ) de matrices ( élément de et élément de ) tel que .
I.C.2) Application. Déterminer les matrices et , puis identifier géométriquement l'endomorphisme associé à dans la base canonique, dans les deux cas suivants :
a)
b)
I.C.3) Montrer qu'il existe un unique couple ( ), avec endomorphisme orthogonal de et élément de tel que o .
Vérifier de plus que est la matrice, dans la base canonique, de .

Partie II - Endomorphismes invariants d'une forme quadratique

II.A - Forme quadratique associée à une matrice symétrique

II.A.1)
a) Montrer que, pour toute matrice symétrique réelle , on définit une forme bilinéaire symétrique en posant . On notera la forme quadratique associée.
b) Montrer qu'on définit ainsi une application injective de dans l'ensemble des formes quadratiques sur . On admettra que cette application est aussi surjective.
II.A.2) Dans toute la suite de cette partie, est un élément de fixé, a est l'endomorphisme associé dans la base canonique et désigne la forme quadratique associée. De plus désigne un endomorphisme de de matrice relativement à la base canonique. On dira que est invariant par si .
On note l'ensemble des endomorphismes laissant invariant et l'ensemble de leurs matrices dans la base canonique.
a) Montrer que définit une forme quadratique sur .
b) En utilisant ce qui précède, en déduire la caractérisation

II.B - Structure des invariants des formes quadratiques associées à des matrices involutives

Dans toute la fin du problème, est une matrice symétrique réelle qui vérifie .
II.B.1) Montrer que tout élément de est inversible et que son inverse appartient à .
II.B.2) Montrer que, si est élément de , il en est de même pour sa transposée.
II.B.3) Montrer que est un sous-groupe du groupe linéaire d'ordre et donc que est un sous-groupe du groupe linéaire de .

II.C - Caractérisation des endomorphismes orthogonaux dans

II.C.1) Soit un élément de , l'endomorphisme associé dans la base canonique. Montrer que est un élément de si et seulement si commute avec .
II.C.2) Application. Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur ( ) pour que et commutent, avec
En déduire, lorsque est ainsi fixée, les matrices orthogonales dans .
II.C.3) On note et .
a) Rappeler pourquoi et sont des sous-espaces vectoriels de (éventuellement réduits à ), orthogonaux et supplémentaires.
b) Montrer que , endomorphisme orthogonal, est élément de si et seulement si et .
II.C.4) Application. Déterminer les matrices orthogonales de lorsque
On pourra commencer par déterminer ainsi qu'une base de chaque sousespace, puis la forme de la matrice associée à dans une base adaptée à la décomposition .

II.D - Caractérisation des endomorphismes symétriques strictement positifs dans

II.D.1) Montrer que , élément de , est dans si et seulement si .
II.D.2) Application. Dans cette question, est l'endomorphisme associé à
Déterminer toutes les matrices symétriques réelles d'ordre 2 telles que . En déduire dans ce cas tous les endomorphismes de qui sont dans .
II.D.3) Soit . On note l'unique élément de tel que . Montrer que est élément de si et seulement si .
II.D.4) Application. Dans cette question a est l'endomorphisme associé à
Déterminer toutes les matrices symétriques réelles d'ordre 2 qui vérifient . Retrouver alors les résultats de II.D.2.
II.D.5) Soit . Montrer que est dans si et seulement si et .
II.D.6) Application. Déterminer les endomorphismes symétriques strictement positifs de dans le cas où a est l'endomorphisme associé dans la base canonique à

II.E - Caractérisation de

II.E.1) Soit un endomorphisme orthogonal et un endomorphisme symétrique tels que et . Montrer que o est dans .
II.E.2) Réciproquement, on considère un élément de .
a) Justifier rapidement l'existence d'un endomorphisme orthogonal et d'un endomorphisme symétrique tels que .
b) En utilisant les différents résultats trouvés et en particulier la question I.C.3, montrer que nécessairement est dans . En déduire que puis sont dans .
II.E.3) Déduire de ce qui précède une caractérisation de .

Partie III - Applications géométriques

III.A - Transformations affines laissant invariante une conique

Le plan affine est rapporté à une origine et à une base orthonormale . On pourra utiliser l'isomorphisme entre l'espace euclidien de dimension 2 sousjacent et muni du produit scalaire usuel et rapporté à sa base canonique. On considère la conique définie par l'équation .
III.A.1)
a) À l'aide d'un changement d'origine, montrer que cette conique admet un centre de symétrie que l'on déterminera.
b) Écrire une équation de dans le repère ( ).
c) Quelle est la nature de la conique ? En donner une représentation graphique.
III.A.2) On se propose de déterminer toutes les transformations affines qui fixent et laissent globalement invariante la conique .
a) Montrer que le problème équivaut à déterminer lorsque
b) En utilisant ce qui a été fait précédemment achever la détermination des transformations affines laissant globalement invariante .

III.B - Transformations affines laissant invariante une quadrique

L'espace affine est rapporté à une origine et à une base orthonormale . On pourra utiliser l'isomorphisme entre l'espace euclidien de dimension 3 sousjacent et muni du produit scalaire usuel et rapporté à sa base canonique.
On se propose d'étudier les transformations affines qui fixent et laissent globalement invariante l'une des deux quadriques ou définies par les équations :
III.B.1)
a) Préciser la nature de .
b) Déterminer dans les deux cas la matrice de symétrie associée à la forme quadratique, ainsi que les sous-espaces vectoriels et . Montrer que les transformations affines cherchées sont entièrement déterminées par .
III.B.2) Déterminer entièrement ces transformations dans le cas de .

III.B.3) Cas de .

a) Montrer que les matrices orthogonales de sont les matrices de la forme
où est élément de et un couple d'éléments de .
b) Étudier pour fixé les quatre transformations associées lorsque et prennent les valeurs 1 et -1 . On étudiera précisément le cas particulier .
III.B.4) Recherche des endomorphismes symétriques de la forme .
a) Montrer que l'ensemble des endomorphismes tels que soit dans est un espace vectoriel de dimension 2 et donner la forme générale de , matrice de dans la base canonique.
b) Déterminer une base de vecteurs propres commune à et ainsi que la matrice de dans une telle base.
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