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Centrale Mathématiques 2 TSI 2008

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Algèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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2008
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TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2008TSI MathsMaths 2008
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Définitions et notations

Dans tout le problème, désigne l'ensemble des nombres réels, désigne le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On utilise l'isomorphisme canonique entre et le -espace vectoriel des matrices colonnes réelles d'ordre 2; ainsi, à tout vecteur ( ) de , on associe la matrice colonne notée . On suppose que est muni de son produit scalaire usuel, noté , et le -espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 1 , et on peut ainsi écrire le produit scalaire de deux vecteurs et de sous la forme: , où et
  • Dans E, on note la matrice nulle, et la matrice unité.
  • On note l'ensemble des matrices carrées réelles orthogonales d'ordre 2.
  • On note l'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre 2, et l'ensemble des matrices antisymétriques réelles d'ordre 2.
  • Pour toute matrice de , on note la trace de , et le déterminant de .
  • Dans tout le problème, l'espace est rapporté à un repère orthonormal direct :
  • Tout plan affine sera muni d'un repère orthonormal de la forme :
  • On appelle surface de tout ensemble de points défini par une équation de la forme , où est une application de classe d'une partie de dans . On note l'ensemble des surfaces de .
Toutes les questions précédées de la mention « Application » peuvent être traitées en admettant éventuellement les résultats qui les précèdent.

Partie I - Étude de deux applications

On considère l'application de E dans , qui à toute matrice A , associe la surface d'équation cartésienne:

I.A - Exemples :

I.A.1) Déterminer l'image par de la matrice nulle, et préciser sa nature.
I.A.2) Déterminer l'image par de la matrice unité , et préciser sa nature.
I.A.3) Déterminer , pour , et préciser sa nature.
I.B -
I.B.1) Montrer que E est somme directe de et de
I.B.2) On note
Soit un élément de . Montrer que :
é
I.B.3) Montrer que n'est pas injective.
I.B.4) Montrer que, pour toute matrice de , il existe une et une seule matrice symétrique telle que :
I.C - On note l'application qui à toute matrice de , associe la matrice définie en I.B. 4 dans E.
On définit l'application de dans par :
I.C.1) Montrer que est un produit scalaire sur .
I.C.2) Montrer que est le projecteur orthogonal sur , pour le produit scalaire .
I.C.3) Déterminer une base de dans laquelle la matrice de est diagonale.
I.C.4) Application : dans cette question, on suppose :
a) Déterminer .
b) Déterminer une matrice orthogonale et une matrice diagonale telles que .
c) Déterminer une équation réduite de , et en déduire la nature de .
I.D - Soit une matrice symétrique non nulle.
En utilisant le fait que est diagonalisable dans une base orthonormale, donner, en fonction du signe de , la forme des équations réduites de par rapport à une base orthonormale convenable, et la nature de .
I.E - Soit A une matrice orthogonale d'ordre 2 : .
I.E.1) Donner en fonction , la nature de l'endomorphisme ayant pour matrice relativement à la base canonique de .
I.E.2) Déterminer la nature de dans le cas :
On montrera que peut se déduire de la surface d'équation :
par une rotation convenablement choisie.
I.E.3) Étudier le cas :
I.E.4) Application : on considère les matrices et définies par
Déterminer une rotation transformant en .
Dans toute la suite du problème, on considère l'application de E dans , qui à toute matrice , associe la surface ( ) d'équation cartésienne :

I.F -

I.F.1) On suppose la matrice A symétrique réelle non nulle. Comme dans la question I.D, donner, en fonction du signe de et de , la forme des équations réduites de par rapport à une base orthonormale convenable, et la nature de .
I.F.2) Écrire une procédure qui à toute matrice de , associe la nature de (on pourra utiliser le langage de son choix).
I.F.3) Application : on suppose
Étudier . Déterminer l'équation réduite et le repère adapté correspondant.

Partie II - Application à une famille de surfaces

On considère dans cette partie, pour tout réel , la surface d'équation cartésienne :
Pour tout réel , on considère la courbe plane d'équation cartésienne :
II.A - Pour fixé, que représente pour ?
II.B - Déterminer la matrice symétrique telle que .
II.C - On suppose que est un réel quelconque.
II.C.1) Déterminer des expressions, en fonction du réel , des valeurs propres et de la matrice , et une base orthonormale diagonalisant .
II.C.2) Déterminer la nature de la courbe ayant pour représentation paramétrique :
II.C.3) Calculer et .
II.D - On suppose que est un réel quelconque
II.D.1) Comparer les surfaces et .
II.D.2) Donner une transformation géométrique permettant de passer de à .
II.D.3) Donner une transformation géométrique permettant de passer de à .
II.E - On suppose
II.E.1) Déterminer la nature de suivant les valeurs du réel .
On distinguera les cas :
a)
b)
c)
II.E.2) Déterminer la nature de suivant les valeurs des réels et .
II.E.3) Tracer rapidement l'allure des courbes , pour différentes valeurs du réel , dans les cas suivants :
a)
b)
c)

Partie III - Application de

On considère dans cette partie les surfaces d'équation :
III. A - Donner la nature de la surface .
III.B - Déterminer la nature de la surface en utilisant la partie I.
III.C - Montrer que est l'image de par une rotation d'axe que l'on précisera.
III.D - Soit le plan d'équation :
Soit la courbe intersection de la surface avec le plan .
Déterminer une équation cartésienne de la courbe .
Donner la nature de la courbe .
Tracer sur un unique dessin les graphes des courbes .

Partie IV - Une autre application

Pour tout réel , on considère la surface d'équation cartésienne :
IV.A - Étude de la surface
IV.A.1) Trouver une matrice A symétrique telle que .
IV.A.2) En déduire la nature de en utilisant la partie I.
IV.A.3) Déterminer l'équation réduite de , sa nature et son axe.
IV.B - Étude de la surface
IV.B.1) Donner la matrice de la rotation d'axe et d'angle .
IV.B.2) Déterminer l'image de la surface par la rotation précédente.
IV.B.3) En déduire la nature de la surface .

IV.C - Étude d'une famille de paraboles

Soit un réel quelconque non nul, et le plan d'équation .
Soit la courbe intersection de la surface avec le plan .
IV.C.1) Montrer que est une parabole, et déterminer les coordonnées de son foyer, noté .
Déterminer l'ensemble décrit par le foyer quand le réel décrit .
IV.C.2) À partir du résultat de la question précédente, déterminer l'ensemble des foyers des paraboles tracées sur . Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble , et préciser la nature de .

FIN •••

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