Centrale Mathématiques 2 TSI 2012

Ce problème est basé sur une illusion d'optique.
On dit que deux courbes et de l'espace font illusion si les trois propriétés suivantes sont vérifiées quels que soient les points et de et :

Pour situer l'illusion d'optique, plaçons un observateur sur la droite ( ), hors du segment et regardant vers et . Son œil étant aligné avec et , ces points (distincts) lui semblent être confondus.
De plus, son œil est, a fortiori, dans le plan passant par et dirigé par et donc toute droite de ce plan lui semble être la tangente à ; l'illusion est analogue pour la tangente à . Comme et sont orthogonaux, ces deux tangentes lui semblent être orthogonales donc les deux courbes semblent se couper à angle droit.
Deux courbes faisant illusion étant données, on peut aussi chercher l'ensemble des points de l'espace d'où l'observateur jouit de l'illusion d'optique.
Pour mener cette étude, l'espace est muni de sa structure euclidienne canonique et rapporté à un repère orthonormé direct ( ), noté également . Le produit scalaire est noté , la norme euclidienne est notée et la distance euclidienne .

- Dans le plan , on considère la droite d'équation , les points et de coordonnées ( 1,0 ) et et le point variable de coordonnées .
I.A.1) Calculer les carrés des distances de au point et de à la droite .
I.A.2) Former une équation cartésienne de la courbe , ensemble des points du plan qui sont équidistants de et de .
I.A.3) Quelle est la nature de et que représentent et pour ? Représenter .
I.A.4) Montrer que admet dans l'espace la représentation paramétrique

- On considère de même la courbe admettant la représentation paramétrique

I.B.1) Montrer que est une parabole passant par et la représenter dans le plan .
I.B.2) Montrer que se déduit de par une symétrie orthogonale par rapport à une droite à préciser.
I.B.3) Sur un même dessin, représenter le repère , puis les tangentes en à et en à , et enfin et elles-mêmes.
- Soit le point de paramètre sur et le point de paramètre sur .
I.C.1) Donner, par leurs composantes, un vecteur dirigeant la tangente en à et un vecteur dirigeant la tangente en à .
I.C.2) Calculer les composantes de et de .
I.C.3) L'un de ces deux produits vectoriels peut-il être nul?
I.D - Montrer que les deux courbes et font illusion.
On reprend les notations du I.C. Soit un réel et le point de la droite défini par .
I.E.1) Comment faut-il choisir pour que le point ne soit pas sur le segment de droite (afin que du point on puisse voir simultanément et )?
I.E.2) Exprimer les coordonnées ( ) de en fonction de et , puis et en fonction de et .
I.E.3) On fixe les coordonnées et du point .

Montrer que le point est un point depuis lequel on a l'illusion d'optique si et seulement si est dans l'ensemble des valeurs prises par une certaine fonction de que l'on précisera.
I.E.4) Quels sont les points de l'axe depuis lesquels on a l'illusion d'optique ?

Soient, dans l'espace, quatre points de coordonnées , ( ) et soient quatre nombres réels.
On leur associe les matrices

On considère comme un vecteur de ; on note l'application linéaire de dans lui-même ayant pour matrice dans la base canonique de .
On note les vecteurs lignes de .

II.A.1) En examinant le produit , montrer qu'il n'y a pas dans de vecteur non nul dont les trois premières composantes soient nulles.
II.A.2) Montrer que n'est pas réduit au vecteur nul si et seulement si le déterminant de est nul.
II.A.3) Montrer que si est non nul et appartient à , alors

est l'équation d'un plan contenant et .
II.A.4) Montrer que et sont coplanaires si et seulement si le déterminant de est nul.

II.B.1) On suppose que le rang de est inférieur ou égal à 2 .

Montrer que, quel que soit , le déterminant de est nul. En déduire que sont alignés.
II.B.2) Montrer que le rang de est inférieur ou égal à 2 si et seulement si sont alignés.
II. - On suppose que .
II.C.1) Montrer que la famille des deux vecteurs lignes ( ) est libre.
II.C.2) Montrer que sont alignés si et seulement si il existe tel que .
II.D - On suppose ici que les points sont alignés et tous distincts.
II.D.1) Montrer que les deux dernières lignes de la matrice sont combinaisons linéaires des deux premières.
II.D.2) Qu'en résulte-t-il pour le rang de et la dimension de ?
II.D.3) Montrer que admet, dans le cas où on s'est placé, 0 comme valeur propre, avec un ordre de multiplicité supérieur ou égal à 2 .

On suppose non coplanaires. Une droite rencontre en quatre points , tous distincts, les quatre plans contenant respectivement les points ( ), ( ), ( ) et .
On note les milieux des segments [ ], , [ ], [ ]. On se propose de démontrer que et sont coplanaires.
Pour cela, on utilise encore la matrice construite à l'aide des coordonnées de ( ) et aussi les matrices et construites de la même façon à l'aide des coordonnées de ( ) et de ( ).
II.E.1) On note les vecteurs lignes de . En considérant les points , montrer qu'il existe des réels tels que

II.E.2) Montrer qu'il existe une matrice carrée de taille 4 vérifiant :

II.E.3) Montrer que le vecteur-colonne de composantes ( ) est vecteur propre de et donner la valeur propre associée.
II.E.4) Montrer que est inversible et que et sont de rang 2 .
II.E.5) En utilisant la trace de , donner la liste des valeurs propres de .
II.E.6) Montrer que et justifier que n'est pas inversible.
II.E.7) Conclure.

III. - On considère la courbe du plan admettant dans la représentation paramétrique

III.A.1) Montrer qu'il s'agit d'une ellipse dont on précisera les foyers et .
III.A.2) Représenter dans le plan .
III. B - On considère de même la courbe du plan admettant dans la représentation paramétrique

(ch et sh désignent le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique.)
III.B.1) Montrer que est une partie d'une hyperbole dont on donnera une équation cartésienne.
III.B.2) Préciser, sans justification, les asymptotes de .
III.B.3) Représenter dans le plan .
III. - Sur un même dessin, représenter le repère , les points et puis les tangentes remarquables à et , et enfin et elles-mêmes.
III.D - Soient le point de paramètre sur et le point de paramètre sur .

Donner, par leurs composantes, un vecteur dirigeant la tangente en à et un vecteur dirigeant la tangente en à .
On ne terminera pas la démonstration du fait que et font illusion.
III. - Les réels et étant donnés, soient le point de coordonnées le point de paramètre sur et le point de paramètre sur . On leur associe la matrice

On note et ses vecteurs lignes.
III.E.1) En utilisant l'un des résultats de la partie II, montrer que et sont alignés si et seulement si il existe un réel tel que .
III.E.2) En déduire une représentation paramétrique de l'ensemble des points ainsi obtenus, de la forme

III.E.3) Comment faut-il choisir pour que l'observateur placé en ait l'illusion d'optique?

On voudrait maintenant trouver tous les couples de courbes qui font illusion. On va se limiter à chercher et faisant illusion et vérifiant en plus :

On note (et ) les points de paramètres (et ) sur (et ).
Soient donc et deux courbes ayant toutes ces propriétés.
On rappelle que l'intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet du cône est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.
IV. - On note et les points et le produit vectoriel le produit vectoriel et le produit scalaire de et .
Montrer que est nul pour tout couple ( ) de réels.
IV.B.1) En utilisant , exprimer la dérivée partielle de par rapport à en fonction du produit scalaire .
IV.B.2) Montrer que est orthogonal à et à .
IV.C - Dans cette question, on fixe la valeur de et on choisit un repère orthonormé d'origine avec l'axe dans la direction de .
On note la troisième composante de .
On abrègera en et les composantes de et de .
IV.C.1) Traduire par une relation entre ces divers nombres la nullité de .
IV.C.2) Montrer que la fonction telle que est définie et dérivable sur et calculer sa dérivée.
IV.C.3) En utilisant IV.C.1, montrer que est constante sur .
IV.C.4) En déduire que est contenue dans une surface, qu'on notera et qui est, suivant la valeur de la constante précédente, soit le plan passant par et orthogonal à , soit un cône de révolution de sommet et dont l'axe est dirigé par .
IV.D - Dans cette question, on fixe la valeur de à , donc .
IV.D.1) Montrer que le point appartient à .
IV.D.2) Montrer que est contenue dans le plan passant par et orthogonal à .
IV.E -
IV.E.1) Montrer que n'est pas incluse dans le plan .
IV.E.2) On fixe à une valeur telle que le point de ne soit pas dans le plan . Montrer que est un cône de révolution de sommet .
IV.F -
IV.F.1) Montrer que est contenue dans une ellipse, une hyperbole ou une parabole, elle-même contenue dans le plan .
IV.F.2) Montrer de même que est contenue dans une ellipse, une hyperbole ou une parabole, elle-même contenue dans un plan perpendiculaire à et que l'on précisera.