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Centrale Mathématiques 2 TSI 2013

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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Centrale
Année
2013
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2013TSI MathsMaths 2013
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Notations

Dans tout le problème, désigne un entier naturel .
On note (respectivement ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels (respectivement complexes), la matrice unité et la matrice nulle de (respectivement de ).
Si (ou ), on note le déterminant de et la trace de , égale à la somme de ses éléments diagonaux : .
Si (ou ), le polynôme caractéristique de est .

I Réduction des matrices réelles d'ordre 2

Soit une matrice carrée réelle de taille 2 :

I.A - Généralités

I.A.1) Montrer que .
I.A.2) Montrer que est diagonalisable dans si et seulement si
I.A.3) Montrer que est diagonalisable dans si et seulement si

I.B - Applications

Soit et deux suites à termes réels définies par
On pose, pour .
I.B.1) Trouver une matrice dans telle que, pour tout entier naturel .
I.B.2) Soit dans . Exprimer en fonction de et .
I.B.3) Prouver que est diagonalisable puis déterminer une matrice de , inversible telle que :
I.B.4) Soit dans . Exprimer les coefficients de en fonction de .
I.B.5) En déduire l'expression de et en fonction de .

II Réduction de matrices d'ordre 3 ou 4

II.A - Le cas

On définit la matrice par

II.A.1) Calculer et .

Soit dans . Préciser en fonction de .
II.A.2) On note le nombre complexe égal à .
Rappeler sans justification la valeur de .
II.A.3) Déterminer le polynôme caractéristique de ainsi que ses valeurs propres.
II.A.4) Déterminer une matrice inversible de telle que :
II.A.5) Soient trois nombres complexes et . On pose
a) Exprimer en fonction de et des matrices et .
b) En déduire que est diagonalisable dans dans une base indépendante du choix des valeurs des complexes et .
c) Préciser les valeurs propres de la matrice .
d) Exprimer le déterminant de en fonction de et du nombre complexe sous la forme d'un produit.
II.A.6) On pose .
a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
b) Donner la dimension de en justifiant avec soin.

II.B - Le cas quelconque

Dans cette question, désigne un entier supérieur ou égal à .
On note la base canonique de .
On note l'endomorphisme de défini par : et , c'est-à-dire
II.B.1) On note la matrice de dans la base canonique de . Expliciter la matrice .
II.B.2) On note une racine è de l'unité et le vecteur de défini par :
Calculer en fonction de et de .
II.B.3) Montrer que est diagonalisable. On précisera une base de vecteurs propres pour .
II.B.4) Que peut-on dire de ?

II.C - Le cas quelconque

Dans toute cette partie, on choisit .
II.C.1) Expliciter où est la matrice définie dans la question précédente.
II.C.2) On note ( ) une famille de 4 complexes et on pose:
Montrer que est diagonalisable dans .
Donner une base de vecteurs propres et préciser les valeurs propres de la matrice en fonction des nombres complexes et .

III Le théorème de Cayley-Hamilton

Soit une matrice de .
On note : le polynôme caractéristique de .
Le but de cette partie est de montrer que annule son polynôme caractéristique, c'est-à-dire que :
III. - Justifier l'existence d'une matrice triangulaire supérieure de et d'une matrice de inversible telles que .
On note les éléments diagonaux de .
On note les matrices colonnes des vecteurs de la base canonique de .
Ainsi et
Le polynôme caractéristique de est : .
III.B - Montrer que et ont le même polynôme caractéristique.
III. - Vérifier que, pour tout couple d'entiers compris entre 1 et , on a :
III. - Montrer que, pour tout entier compris entre 1 et , on a :
III. - On pose, pour tout entier compris entre 1 et , que l'on peut noter puisque les matrices du produit commutent deux à deux.
Montrer que, pour tout entier compris entre 1 et , on a : .
On pourra utiliser un raisonnement par récurrence sur .
III. - En déduire que puis que .
On observe que le résultat attendu en découle puisque .

IV Méthodes numériques de calcul du polynôme caractéristique et des valeurs propres d'une matrice réelle

Soit une matrice de .
On note : .

IV.A - Le calcul du polynôme caractéristique

Soit une matrice colonne.
On pose .
IV.A.1) Montrer que .
IV.A.2) En déduire que est solution d'un système linéaire de la forme : où est une matrice de dont on donnera les colonnes et est une matrice colonne que l'on précisera.
IV.A.3) Que peut-on dire de ce système linéaire si la famille ( ) est libre ?

IV.B - Le calcul approché des valeurs propres

Dans cette partie, on suppose que admet valeurs propres réelles distinctes telles que:
On considère l'ensemble des suites réelles définies par :
IV.B.1) Montrer que est un -espace vectoriel.
IV.B.2) Montrer que, pour tout entier compris entre 1 et , la suite appartient à .
Dans la suite, on admet que est de dimension finie avec .
On admet aussi que la famille est une famille libre de l'espace vectoriel des suites de réels.
Soit une suite de .
IV.B.3) Justifier l'existence d'une famille de réels ( ) telle que, pour tout entier :
IV.B.4) On choisit pour que soit non nul.
a) Donner un équivalent simple de la suite quand tend vers .
b) En déduire que est non nul à partir d'un certain rang.
c) Montrer que .
IV.B.5) Une fois obtenue , comment peut-on construire une suite qui converge vers ? On ne demande pas de justification.

IV.C - Illustration sur un exemple

Dans cette partie, on choisit :
IV.C.1) Calculer le polynôme caractéristique de et déterminer les deux valeurs propres avec .
IV.C.2) Préciser la relation de récurrence vérifiée par les suites de l'espace associé à la matrice .
IV.C.3) En prenant , écrire des instructions en Maple ou Mathematica permettant de calculer les 10 premiers termes de la suite .
IV.C.4) Calculer ces 10 premiers termes et déterminer le plus petit entier naturel tel que soit une valeur approchée de à près.
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