Centrale Mathématiques 2 TSI 2014

Le but du problème (qui date du XVI siècle) apparaît dans la partie IV.
On note ( ) la base canonique de . Pour de 1 à 6 , on note le sous-espace vectoriel de engendré par les cinq vecteurs de la base autres que .
L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique.
Quand on parlera des coordonnées d'un vecteur, il s'agira toujours des coordonnées sur la base canonique.
On définit ainsi trois vecteurs par leurs coordonnées

Soit l'unique application linéaire de dans lui-même vérifiant

I.A.1) Représenter la matrice de dans la base canonique de .
I.A.2) Donner la valeur du déterminant de .
I.A.3) Montrer que le rang de est inférieur ou égal à 5 .
I.A.4) Montrer que l'image de contient tous les vecteurs de .
I.A.5) Pour quelconque entre 1 et 6 , quelle est la dimension de ?
I.A.6) Montrer que l'image de est et que le noyau de est de dimension 1 .
I. - Trouver un vecteur dirigeant le noyau de , ayant des coordonnées simples.

I.C.1) Former le polynôme caractéristique de .
I.C.2) Quelles sont les valeurs propres de ? Quels sont leurs ordres de multiplicité ?
I.C.3) Justifier que les sous-espaces propres de sont et .
I.C.4) Montrer que est diagonalisable et donner une base de sur laquelle la matrice de est diagonale.

I.D.1) Montrer que l'application linéaire est le projecteur sur le sous-espace vectoriel parallèlement à la droite dirigée par .
I.D.2) Ce projecteur est-il un projecteur orthogonal?
I.D.3) Exprimer en fonction de .
I. - On considère l'équation , où le vecteur est l'inconnue.
I.E.1) Montrer que lui-même est une solution particulière de l'équation.
I.E.2) Montrer que la solution générale est le vecteur , où le réel est arbitraire.
I.E.3) Montrer que le vecteur est la seule solution de l'équation différente de et dont une coordonnée est nulle, les autres coordonnées étant positives ou nulles.

Que soit une matrice carrée ou un vecteur colonne, on note sa matrice transposée.
On rappelle que les deux vecteurs colonnes et sont orthogonaux dans l'espace euclidien si et seulement si le produit matriciel est nul.
On donne une matrice carrée et un vecteur colonne de , et on considère l'équation matricielle où l'inconnue est le vecteur colonne de . On suppose que cette équation n'a pas de solution et on lui associe l'équation .
II.A - On va d'abord montrer que cette dernière équation a des solutions.
II.A.1) Montrer que si et seulement si le vecteur est orthogonal à tout vecteur de la forme , où est un vecteur colonne de .
II.A.2) En déduire que si et seulement si est la projection orthogonale de sur l'image de .
II.A.3) Montrer qu'un tel vecteur existe.
II.B - Résolution de l'équation

On pose . On suppose que est de rang 5 .
II.B.1) Montrer que est une matrice symétrique.
II.B.2) Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. En calculant de deux façons le produit matriciel , montrer que est un réel positif.
II.B.3) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale telles que , les cinq premiers termes diagonaux de étant strictement positifs et le dernier étant nul.
II.B.4) Connaissant et , montrer que la résolution de se ramène à un système de cinq équations à cinq inconnues dont la résolution est immédiate.
II. - Soit une solution de l'équation .

Rappelons que n'a pas de solution, donc que n'est pas dans l'image de .
Soit l'ensemble des vecteurs de tels que la distance de à soit minimale au sens des moindres carrés.
Montrer que appartient à .
peut donc être vu comme une solution approchée de l'équation

Un voyageur dispose de trois cruches contenant chacune de l'eau et de l'air (car le remplissage des cruches est partiel).
À chaque répartition de l'eau dans les trois cruches on associe un vecteur de , où désignent les volumes d'eau respectivement dans et où sont les volumes d'air correspondants.
Face à une telle répartition, le voyageur s'autorise l'une des deux manipulations suivantes :
Choisir deux cruches et , verser l'eau de dans (sans déborder) et s'arrêter

On note alors l'unique endomorphisme de tel que . En particulier, est l'application notée dans la partie I.
III.B.2) Donner de même, sans justification, les composantes de en fonction de celles de lorsque la manipulation utilisée est . (On remarquera que déplacer de l'eau de vers équivaut à déplacer de l'air de vers ). On constatera que . On note alors l'endomorphisme de qui transforme en .
III. - Soit un entier entre 1 et 6.
III.C.1) Justifier que est un hyperplan de .
III.C.2) Donner une équation simple de cet hyperplan.
III.D - On fixe le couple ( ).
III.D.1) Montrer que tous les vecteurs de sont invariants par .
III.D.2) Montrer que tous les vecteurs de sont invariants par .
III.D.3) On note la matrice de l'application sur la base canonique de .

Montrer que la matrice comporte une ligne de zéros, dont on donnera la position.
III.D.4) En s'inspirant de la partie I, montrer que toutes les applications et sont de rang 5 et sont diagonalisables.

On considère trois cruches, et de capacités respectives, 8,5 et 3 litres. Initialement est pleine d'eau et et sont vides (pleines d'air). Le voyageur voudrait, par une succession des manipulations permises, faire en sorte que l'eau soit répartie en parts égales dans et .
Les notations de la partie III pour caractériser la répartition de l'eau dans les cruches à l'aide d'un vecteur de sont reprises dans cette partie.

IV.A.1) Montrer que les deux vecteurs de associés respectivement à l'état initial des cruches et à l'état final souhaité sont les vecteurs et définis dans le préambule.
IV.A.2) Montrer, en utilisant par exemple la dernière question de la partie I, qu'on peut passer par une seule manipulation de l'état associé au vecteur du préambule à l'état final souhaité.
IV.A.3) Montrer, en utilisant par exemple III.B. que, si le problème a une solution, les vecteurs de associés aux états intermédiaires (entre l'état initial et l'état final) ont tous une coordonnée nulle (au moins). On appelle dans la suite «vecteur privilégié » tout vecteur de ayant une coordonnée nulle, les autres étant strictement positives.
IV.B - On peut résoudre les questions suivantes en raisonnant sur l'état des cruches, sans revenir aux applications linéaires.
IV.B.1) On pose .

Montrer que est, en dehors de , le seul vecteur privilégié qu'on puisse obtenir à partir de par une seule manipulation.
IV.B.2) Montrer qu'on peut repasser de l'état associé à à l'état associé à par une seule manipulation.
IV.C - On constate qu'on peut passer de l'état associé à à l'état associé à (ou inversement), puis de même, de à , de à et de à , qui n'est pas privilégié.
Montrer qu'il est possible de passer de l'état initial (associé à ) à l'état associé à en utilisant une seule manipulation.
IV.D - Décrire, pour résumer, les manipulations successives qui permettent au voyageur d'atteindre son but.
IV.E - Partant de la même répartition initiale d'eau dans les cruches (8 litres, 0 litre, 0 litre),
IV.E.1) Est-il possible d'arriver à une répartition de l'eau en parts égales entre les trois cruches ?
IV.E.2) Est-il possible d'arriver à la répartition (4 litres, 2 litres, 2 litres) ?
IV.F - Rappelons que les capacités des cruches sont 8,5 et 3 litres.
IV.F.1) Donner les composantes du vecteur colonne associé à la répartition des 8 litres d'eau en trois quantités égales dans les trois cruches (répartition qu'on ne peut obtenir si l'on s'en tient aux manipulations permises).
IV.F.2) Parmi les sous-espaces , quel est celui pour lequel la distance euclidienne de à est la plus petite et quelle est cette distance ?
Nous laissons au voyageur le soin de poursuivre les calculs.

On cherche une solution au problème des trois cruches, tel qu'il est posé dans la partie IV, plus directe que la précédente, en écrivant, dans le langage de programmation vu en classe, un programme envisageant, à partir de l'état initial ( ) de l'eau dans les cruches, toutes les manipulations possibles et les états qu'elles donnent, jusqu'à obtenir l'état .
Pour un certain état des cruches, les trois volumes d'eau contenus dans et sont les trois éléments d'une colonne d'un tableau (extensible) à trois lignes et colonnes ( peut varier).
Initialement n'a qu'une colonne contenant et .
- Écrire une procédure nommée figure. Cette procédure, destinée à éviter les répétitions, attend trois nombres à l'entrée et l'appel de figure ( ) renvoie la valeur true si l'état ( ) figure déjà dans une colonne du tableau . Elle renvoie false dans le cas contraire.
- Pour et fixés, écrire la suite d'instructions permettant, en examinant l'état des cruches défini par la colonne du tableau , de trouver, si n'est pas vide, celle des deux manipulations ou qui est alors possible et, si cette manipulation donne un état non encore répertorié, le ranger dans le tableau en accolant une nouvelle colonne à celui-ci.
Programmer aussi l'affichage de la valeur de et du tableau (complété). Cela permettra de suivre l'avancement du travail pendant que le programme s'exécutera.
- Incorporer les instructions précédentes dans des boucles imbriquées permettant de traiter tous les couples ( ) possibles et faire varier jusqu'à l'apparition, dans le tableau, de l'état espéré ( ).
- Par suite d'une panne, l'écran reste figé sur l'affichage intermédiaire suivant de et du tableau

Finir manuellement le travail du programme, sans donner trop de détails.
- On pourrait alors reconstituer la suite des manipulations que le voyageur doit faire. On s'en tiendra à décrire la dernière manipulation et à la comparer avec celle trouvée dans la partie IV.