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Centrale Mathématiques 2 TSI 2023

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Algèbre linéaireGéométrieRéductionEquations différentielles
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2023
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Maths
Centrale TSICentrale 2023TSI MathsMaths 2023
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Notations et rappels

Lorsque et sont deux entiers naturels non nuls, désigne l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels et l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.
Pour toute matrice , on note sa transposée.
On identifie un vecteur de et une matrice colonne de .
Si est une famille de vecteurs de , on note le sous-espace vectoriel engendré par cette famille.
Le produit scalaire canonique sur est défini par l'égalité , pour tous dans et on note la norme euclidienne associée.
Si est une matrice de , on note son polynôme caractéristique et l'ensemble de ses valeurs propres complexes.
Dans l'espace vectoriel orienté par sa base canonique, on note le produit vectoriel des deux vecteurs et .

Objectif du problème et articulations entre ses différentes parties

Ce problème étudie les trajectoires de certaines équations différentielles et de certains systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
La partie I, consacrée à l'étude d'une équation différentielle linéaire du deuxième ordre, est indépendante des parties II et III. Dans les parties II et III, on étudie des trajectoires des solutions à valeurs dans de problèmes de Cauchy de la forme
selon les propriétés de la matrice de et de la condition initiale dans .

I Une équation différentielle linéaire du second ordre

On étudie dans cette partie l'équation différentielle linéaire du second ordre
où est une fonction inconnue deux fois dérivable sur une variable réelle et un paramètre réel non nul.
On appelle trajectoire d'une solution de (I.1) l'arc paramétré du plan défini par
où le point a pour abscisse et pour ordonnée .
On dit qu'une trajectoire est bornée si ses deux fonctions coordonnées sont bornées sur .

I.A - Conservation de l'énergie

Si est une solution de (I.1), on appelle énergie la fonction définie par
Q 1. Justifier que la fonction est dérivable sur et calculer sa dérivée.
On note .
Q 2. En déduire que, pour tout , le point appartient à la courbe d'équation cartésienne

I.B - Cas où est strictement positif

Dans cette sous-partie, on suppose que est un nombre réel strictement positif et on note la racine carrée positive de . L'équation (I.1) s'écrit donc .
Q 3. Donner une base de l'espace vectoriel de ses solutions et exprimer la solution correspondant aux conditions initiales , où et sont deux réels fixés.
Q 4. Démontrer qu'il existe un angle tel que et .
Q 5. Montrer que, pour tout et vérifier que les trajectoires sont bornées.
Q 6. Déterminer les solutions dont l'énergie est nulle.

I.C - Cas où est strictement négatif

Dans cette sous-partie, on suppose que est un nombre réel strictement négatif et on note la racine carrée positive de .
Q 7. L'équation (I.1) s'écrit donc . Donner une base de l'espace vectoriel de ses solutions et exprimer la solution correspondant aux conditions initiales , où et sont deux réels fixés.
Q 8. Déterminer toutes les solutions d'énergie nulle et déterminer la nature géométrique de leurs trajectoires.
Q 9. Démontrer que la seule trajectoire bornée correspond à la solution identiquement nulle.

II Étude des trajectoires de systèmes linéaires

II.A - Exemple d'un frottement visqueux en dimension 2

On considère l'équation différentielle
où et sont des réels tels que .
Si est une solution de (II.1), on lui associe la fonction vectorielle
On appelle désormais trajectoire de (ou de ) l'arc paramétré .
On dit que la trajectoire de est bornée si et seulement s'il existe tel que, pour tout , où est la norme euclidienne sur , ce qui revient à dire que les deux coordonnées de sont des fonctions bornées.
Q 10. Justifier que cette équation différentielle est équivalente au système différentiel
ù
Q 11. Préciser si la matrice est diagonalisable dans et donner le cas échéant une base de vecteurs propres.
Q 12. Donner la dimension de l'espace vectoriel formé par les solutions du système différentiel , où la fonction inconnue est à valeurs dans , et déterminer une base de cet espace. En déduire que les solutions de l'équation différentielle (II.1) sont bornées sur . Sont-elles bornées sur ?

II.B - Résultats préliminaires sur le comportement des trajectoires

Dans cette sous-partie, est un entier naturel non nul et est une matrice dans .
On note l'endomorphisme de canoniquement associé à . On rappelle qu'il est défini en posant, pour tout . On appelle noyau de le noyau de l'endomorphisme .
On suppose enfin que est la solution du problème de Cauchy
où est un vecteur dans .
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel de est stable par une matrice dans (respectivement par un endomorphisme ) si pour tout , on a respectivement .
On admet que, si est un sous-espace vectoriel de stable par et si , alors, pour tout , .
II.B.1) On suppose, dans les deux questions qui suivent, que est un vecteur propre de pour une valeur propre réelle .
Q 13. Démontrer que, pour tout nombre réel , il existe un nombre réel tel que .
On admet que la fonction est de classe .
Q 14. En déduire une expression de en fonction de et .
Q 15. En déduire que, si la trajectoire de est bornée sur , quelle que soit la condition initiale , alors 0 est la seule valeur propre réelle possible de .
Dans toute la suite du problème, on admet le résultat suivant :

- Proposition 1

Si et si la trajectoire de la solution du problème de Cauchy
est bornée sur , quelle que soit la condition initiale , alors toutes les valeurs propres de dans ont une partie réelle égale à 0 .
II.B.2 Dans cette section, on suppose que appartient à mais n'appartient pas à .
Q 16. Démontrer que la famille est libre.
On admet que le plan est stable par l'endomorphisme canoniquement associé à et qu'il existe deux fonctions et de classe sur telles que, pour tout .
Q 17. Déterminer les fonctions et . En déduire la nature géométrique de la trajectoire de . Est-elle bornée sur ?

II.C - Étude de certaines trajectoires pseudo-périodiques

On suppose dans toute cette sous-partie II.C que est un nombre réel strictement positif, que est un nombre réel n'appartenant pas à et que est un élément non nul de vérifiant
On note toujours la solution du problème de Cauchy
Q 18. Justifier que l'équation , d'inconnue , n'admet pas de racine réelle.
Q 19. En déduire que la famille ( ) est libre.
Comme dans la question 17, on admet que le plan est stable par l'endomorphisme canoniquement associé à et qu'il existe deux fonctions et de classe telles que, pour tout .
Q 20. Démontrer que les fonctions et sont de classe et que
Q 21. En déduire une expression de pour tout .
On admet que, pour tout .
Q 22. Montrer que la fonction est bornée sur si et seulement si .
On suppose à présent que .
Q 23. Justifier que, pour tout .
Q 24. Calculer pour tout .
Q 25. En déduire que, pour tout ,
Q 26. Montrer que la trajectoire de est contenue dans un cercle de centre si et seulement si et .
On a montré en particulier le résultat suivant qu'on pourra utiliser dans la suite du problème :
Si Proposition 2 solution du problème de Cauchy
et si appartient au noyau d'une matrice de la forme , avec , alors la trajectoire de est dans le plan . Cette trajectoire est tracée dans un cercle du plan si et seulement si et .

III Étude des trajectoires sphériques

III.A - Cas des matrices antisymétriques
III.A.1)
Q 27. Démontrer que, pour toute matrice de et tout couple de ,
On dit qu'une matrice de est antisymétrique si .
Q 28. Démontrer que si la matrice est antisymétrique alors, pour tout ,

III.A.2)

Réciproquement, on suppose que, pour tout .
Q 29. Démontrer que, pour tout .
On pourra calculer de deux manières différentes .
Q 30. En déduire que la matrice est antisymétrique.

III.A.3)

Soient et une solution de classe du système différentiel . On dit que la trajectoire de est sphérique s'il existe et tels que, pour tout .
Q 31. On suppose que est une matrice antisymétrique. Étudier la fonction et en déduire que la trajectoire de est sphérique.

III.B - Caractérisation du cas où les trajectoires sont sphériques en dimension 2

Dans cette sous-partie, on suppose que et on suppose que la matrice est non nulle et que les trajectoires du système différentiel sont sphériques, quelle que soit la condition initiale .
Q 32. Justifier que 0 est la seule valeur propre réelle possible pour la matrice .
On pourra utiliser le résultat de la question 15.
Q 33. On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé dans . Justifier que la matrice est trigonalisable et que . En utilisant le résultat des questions 16 et 17 , démontrer que et aboutir à une contradiction.
Q 34. Justifier que est diagonalisable dans et qu'il existe un nombre réel non nul tel que .
On pourra utiliser le résultat de la proposition 1.
Q 35. Étant donné un vecteur , justifier l'égalité .
On pourra considérer la trajectoire de la solution du système vérifiant la condition initiale et utiliser le résultat de la proposition 2.
Q 36. En déduire que toutes les trajectoires du système différentiel sont sphériques si et seulement si la matrice est antisymétrique.

III.C - Systèmes différentiels à trajectoires sphériques en dimension 3

Dans cette sous-partie, on suppose que et que l'espace vectoriel est orienté par sa base canonique.
On dit qu'un endomorphisme de est antisymétrique si sa matrice dans la base canonique de est antisymétrique.
Q 37. On considère un vecteur non nul dans . Démontrer que l'application
est un endomorphisme de et que cet endomorphisme est antisymétrique.
On considère un vecteur non nul dans et orthogonal à . On admet que l'application
est un endomorphisme de .
On considère une fonction de classe qui vérifie, pour tout , c'est-à-dire .
L'objectif des questions suivantes est de montrer que la trajectoire de est sphérique.
Q 38. Pour tous vecteurs et dans , montrer l'égalité .
On pourra, par exemple, considérer d'abord le cas où la famille est liée. Puis, lorsqu'elle est libre, on pourra considérer une base orthonormée du plan choisie de manière à écrire et , où et sont des réels. On posera alors et on écrira , où sont des réels.
Q 39. Calculer pour tout et en déduire qu'il existe tel que, pour tout , .
Q 40. On pose et . Montrer qu'il existe une constante réelle telle que, pour tout ,
Q 41. En déduire que, pour tout .
Q 42. En interprétant comme un déterminant, justifier l'égalité .
Q 43. En déduire que la trajectoire de est sphérique.
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