Centrale Mathématiques 2 TSI 2024

On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels de la variable réelle . Soit une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini ( ) et à valeurs dans . On définit sa fonction génératrice par:

Soit . On note .
Q1. Montrer que:

et en déduire que est fonction polynomiale en .
Q 2. Calculer .
Q 3. Calculer sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire suit une loi de Bernouilli de paramètre .
Q 4. Calculer sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire suit une loi uniforme sur .
Q 5. Calculer sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètre .
Q 6. Montrer que si et sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé fini ( ) et à valeurs dans alors .

On jette deux dés à six faces. On note et les variables aléatoires donnant la valeur de la face obtenue par le premier et le second dé. On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes. On note la variable aléatoire donnant la somme des deux faces obtenues.
Q 7. Préciser l'univers modélisant cette expérience aléatoire.
Q 8. Calculer .
On suppose qu'il est possible de piper les deux dés de sorte que la variable aléatoire suive une loi uniforme sur .
On note alors pour et .
Q 9. Montrer que la fonction génératrice de est de la forme avec un polynôme de degré 10 à coefficients réels.
Q 10. Proposer une autre écriture de la fonction génératrice de de la forme avec et .
Q 11. Montrer que puis que et sont de degré 5 .
Q 12. Résoudre dans l'équation et montrer qu'elle n'admet aucune solution réelle.
Q 13. Prouver que et ont chacun au moins une racines réelles.
Q 14. Aboutir à une contradiction. Conclure.

On considère un univers dénombrable muni d'une probabilité . Soit une variable aléatoire définie sur et à valeurs dans . On définit sa fonction génératrice par :

pour les rééls tels que la série converge (ce qui revient à dire par le théorème de transfert que admet une espérance finie).
Q 15. Montrer que la série entière définissant la fonction génératrice de a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 .
Q 16. Montrer que est de classe sur .
Q 17. Montrer que si alors est deux fois dérivable en 1 , puis que admet une espérance et une variance données par :

Un exemple :
Q 18. Soit une variable aléatoire qui suit un loi de Poisson de paramètre :

Montrer que la fonction qénératrice de cette loi a un rayon de convergence égal à et pour tout , on a :

Q 19. En déduire que admet une espérance et une variance finie puis l'expression de cette espérance et de cette variance.

Soit une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre . Soit la variable aléatoire réelle définie par :

Q 20. Montrer que avec .
Q 21. Montrer que .
Q 22. Déterminer la loi de .
Q 23. Calculer l'espérance de .

Soit un univers dénombrable muni d'une probabilité . On considère deux variables aléatoires et définies sur telles que :
avec ;
avec ;