Centrale Physique 1 PC 2006

Ce problème aborde divers aspects de la physique du manteau neigeux. Il comporte trois parties totalement indépendantes. L' énoncé comprend en annexe un document réponse à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve.

I.A.1) Soit un système thermodynamique de température et de pression . Rappeler la définition de son enthalpie libre ainsi que l'expression des dérivées partielles et .
I.A.2) Le système évolue de manière spontanée, sans échanger d'autre travail que celui des forces de pression. Sa température et sa pression restent égales à celles ( ) du milieu extérieur. Montrer que ne peut que diminuer. Que dire de dans un état d'équilibre thermodynamique?
I.A.3) La transformation de la question précédente correspond à la variation d'une variable d'état . À quelle condition, portant sur , l'équilibre thermodynamique est-t-il établi pour une valeur particulière de cette variable?
I.A.4) On considère une masse d'un corps pur en équilibre sous deux phases 1 et 2 ayant respectivement des masses et , pour volumes massiques et et pour enthalpies libres massiques et .
a) Exprimer son enthalpie libre en fonction de et .
b) Montrer que pour et données il se trouve à l'équilibre lorsque

a) Rappeler la relation entre la chaleur latente massique de la transformation , la température d'équilibre et les entropies massiques et de chaque phase.
b) En envisageant l'équilibre entre les deux phases à deux températures très proches, démontrer la relation de Clapeyron

où et désignent les pression et température assurant l'équilibre des deux phases et la chaleur latente massique de la transformation .

Données :
Coordonnées du point triple de l'eau

où est la température
Chaleur latente de vaporisation en Kelvin de l'eau

Chaleur latente de fusion de l'eau

supposée indépendante de
Masse molaire de l'eau

Constante des gaz parfaits

On notera d'un indice les quantités relatives à l'eau liquide, d'un indice celles relatives à la glace et d'un indice celles relatives à la vapeur d'eau.

Pour traiter les questions suivantes, on négligera les volumes massiques de l'eau liquide et de la glace devant celui de la vapeur.
I.B.1) Le diagramme d'état de l'eau est donné sur la figure 5 (document réponse). Le compléter en précisant, dans chaque case prévue à cet effet, la forme stable de l'eau dans la zone du plan correspondant. Donner les noms des points et .
I.B.2) Au point triple, exprimer la chaleur latente de sublimation en fonction de celles fournies par l'énoncé. En utilisant la relation de Clapeyron, justi-
fier qu'au voisinage du point triple la pente de la courbe relative à la sublimation est supérieure à celle relative à la vaporisation.
I.B.3) On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait. Déterminer l'équation de la courbe du diagramme correspondant à la vaporisation, sous la forme .
I.B.4) Déterminer de même l'équation de la courbe correspondant à la sublimation, en supposant que l'expression de la chaleur latente de sublimation obtenue au I.B. 2 reste valable pour toute température voisine de celle du point triple.
I.B.5) Application numérique : pour une température de , calculer la pression de la vapeur en équilibre avec la glace et la pression de la vapeur en équilibre avec l'eau liquide (que l'on envisage dans un état métastable). Porter sommairement les points correspondants sur la figure 5.
I.B.6) On considère un nuage dans lequel la température supposée uniforme est de . L'eau est simultanément présente sous forme de vapeur, de gouttelettes liquides et de microcristaux de glace (voir figure 6 sur le document réponse). Pourquoi cet ensemble ne peut-il être en équilibre?
I.B.7) On admet que la vapeur est localement en équilibre près des gouttelettes d'eau liquide d'une part, et près des microcristaux de glace d'autre part. Sur la figure 6, représenter la zone de forte pression par des signes + , la zone de basse pression par des signes - et par une flèche le vecteur grad .
I.B.8) À cause de ce gradient de pression, il apparaît un mouvement de convection de la vapeur d'eau. Dans quel sens? Parmi les deux phases condensées, l'une va disparaître au profit de l'autre. Laquelle?

Dans cette partie, on note et les enthalpies libres massiques de l'eau liquide et de l'eau vapeur, et leurs volumes massiques. On néglige l'influence des pressions partielles en et de l'air.
I.C.1) On considère une masse d'air humide où la pression de vapeur d'eau est . Elle est refroidie jusqu'à une température telle que . Que doit-il se passer ? En réalité, on constate souvent que la vapeur reste sèche, tant que n'est pas nettement supérieur à . Les questions suivantes en proposent une explication.
I.C.2) Rappeler les expressions de et .
I.C.3) On admet que est une constante : . Exprimer la différence où et sont deux pressions quelconques.
I.C.4) On traite l'eau vapeur comme un gaz parfait. Exprimer .
I.C.5) On considère la situation où la vapeur d'eau coexiste avec de l'eau liquide maintenue en surpression au moyen d'un piston perméable seulement à la vapeur (figure 1).
À l'équilibre thermodynamique, la vapeur d'eau possède une pression saturante et le liquide une pression désignant la surpression. En adaptant la condition d'équilibre de la question I.A.4, montrer que

où désigne la pression de vapeur saturante usuelle, c'est-à-dire celle qui assure l'équilibre liquide vapeur en l'absence de surpression à la température .
I.C.6) Dans un nuage, une gouttelette d'eau sphérique de rayon se trouve de même en surpression par rapport à la vapeur environnante. Cela s'explique par le phénomène de tension superficielle et on admet que est dans ce cas donnée par avec . En supposant que " , déterminer numériquement le rapport pour puis . On prendra .
I.C.7) Expliquer le phénomène cité à la fin de la

question I.C.1. On admettra que la condensation de la vapeur nécessite l'agglomération de molécules d'eau sous la forme de gouttelettes microscopiques (quelques nanomètres).
I.C.8) Dans un nuage, la présence de poussières autour desquelles les molécules d'eau peuvent s'agglomérer favorise la formation de gouttelettes d'eau. Interpréter, en supposant que la taille des poussières est de l'ordre du dixième de micromètre.

Dans une avalanche, une masse de neige se détache sur une pente et la dévale en entraînant avec elle de la matière supplémentaire. Il en résulte une amplification qui conduit à un phénomène violent même à partir d'un déséquilibre faible.
II.A.1) On considère un bloc de neige de masse reposant sur un plan incliné dont la pente est repérée par l'angle (figure 2). Le contact entre la neige et ce plan, décrit par les lois de Coulomb sur le frottement, est caractérisé par des coefficients de frottement statique et dynamique . On rappelle que . On note l'accélération de la pesanteur.
Montrer que l'équilibre est possible tant que et exprimer l'angle critique .
II.A.2) La masse de neige en équilibre

sur une pente d'angle subit une légère perturbation qui lui donne une vitesse initiale . Exprimer sa vitesse ultérieure et son énergie cinétique .
II.A.3) L'énergie acquise sert en fait à mettre en mouvement de nouveaux blocs de neige, conduisant à l'amplification de l'avalanche. Les valeurs approximatives de et sont données dans le tableau ci-dessous pour différents types de neige. D'après la question précédente, quel type de neige conduit aux avalanches les plus violentes? On justifiera la réponse.

II.A.4) Animée d'une vitesse , la masse de neige arrive dans une région où l'angle prend une valeur plus faible, constante. A quelle condition portant sur a le mouvement est-il ralenti puis stoppé ?
II.A.5) Expliquer comment l'observation de nombreuses avalanches permet de déduire des valeurs numériques pour et telles que celles données dans le tableau.

Lorsque l'avalanche rencontre dans sa course un sol rugueux, elle est soumise à de nouvelles forces de frottement dont on étudie ici une modélisation (figure 3).
La masse de neige en mouvement est assimilée à un parallélépipède rectangle d'épaisseur (selon ), de longueur (selon ) et de largeur (selon ). Le contact avec le sol s'effectue donc

sur un rectangle d'aire .
L'avalanche est formée de paquets de neige sphériques de masse descendant la ligne de plus grande pente avec une vitesse . Ces blocs sont empilés en couches distantes de perpendiculairement à la pente. Dans une couche donnée, parallèle au plan ( ), les blocs sont en moyenne distants de a selon les directions et . Au niveau du sol, ils rencontrent des aspérités assimilées à des cylindres de section circulaire et d'axe parallèle à ( ), séparés d'une distance . Ces chocs, caractérisés par l'angle d'incidence fixé, sont supposés mous : après l'impact, le vecteur vitesse du bloc est tangent à la surface de l'aspérité cylindrique au point de contact.
D'autre part, la composante tangentielle de sa vitesse est conservée dans le choc.
II.B.1) Un bloc se déplaçant selon avec une vitesse moyenne , exprimer la fréquence des chocs qu'il subit.
II.B.2) Quel est le nombre moyen de blocs dans la couche en contact avec le sol?
II.B.3) Combien de chocs l'avalanche dans son ensemble subit-elle, pendant ? On notera ce nombre.
II.B.4) Pendant un choc, un bloc subit un changement de quantité de mouvement . Déterminer sa projection sur l'axe .
II.B.5) Soit la quantité de mouvement de l'avalanche. En déduire la variation de quantité de mouvement causée par les chocs durant .
II.B.6) En déduire que la force de frottement rugueux s'exerçant sur l'avalanche est :

II.B.7) Soit la masse totale de l'avalanche. Montrer que se met sous la forme

en donnant l'expression du paramètre de rugosité en fonction de et .
II.B.8) Expliquer pourquoi dépend de la nature du sol sur lequel l'avalanche s'écoule.
II.B.9) Certains paramètres du modèle pourraient dépendre de la vitesse, de sorte que en dépendrait aussi. Lesquels selon vous?

L'avalanche de masse et d'épaisseur dévale désormais une pente d'angle sous les effets conjugués de son poids, du frottement sec obéissant aux lois de Coulomb (partie II.A) et du frottement rugueux de la partie II.B décrit par la relation (5). On rappelle que

II.C.1) Déterminer l'équation du mouvement selon sous la forme d'une équation différentielle pour .
II.C.2) Exprimer la vitesse limite atteinte par l'avalanche et la calculer numériquement pour et .
II.C.3) Comment l'énergie cinétique de l'avalanche varie-t-elle avec son épaisseur , toutes choses égales par ailleurs?
II.C.4) Exprimer l'évolution de la vitesse de l'avalanche, avec la condition initiale . On éliminera et au profit de .
II.C.5) Déterminer la distance parcourue par l'avalanche depuis son point de départ.
II.C.6) Application numérique : quelle distance l'avalanche a-t-elle parcourue lorsque elle atteint sa vitesse limite à près
II.C.7) L'avalanche ayant atteint sa vitesse limite rencontre un brusque changement de pente, dont l'angle avec l'horizontale passe d'une valeur à une autre valeur . La vitesse limite va prendre, après une certaine distance de transition, une nouvelle valeur . On suppose que la largeur de l'avalanche reste la même, l'épaisseur pouvant par contre être modifiée. En admettant que le débit volumique de neige est le même de part et d'autre de ce changement de pente, démontrer la loi d'invariance :

et désignant respectivement la vitesse de l'avalanche avant et après la rupture de pente.
II.C.8) Application numérique : l'angle passe de à . De quel pourcentage la vitesse est-elle réduite?

Les chances de survie d'une personne accidentellement ensevelie par une avalanche dépendent de façon cruciale du temps mis par les sauveteurs pour la retrouver sous la couche neigeuse. Pour cette raison, des appareils de recherche des victimes d'avalanche (ARVA) ont été mis au point depuis les années 90 . La victime étant équipée d'un émetteur portable d'ondes hertziennes, un sauveteur muni d'un récepteur peut rapidement la localiser. Cette partie aborde le principe d'utilisation de ces dispositifs.
En notant ( ) les coordonnées sphériques usuelles et ( ) les vecteurs de la base locale associée, on a

La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide est .

Dans les questions suivantes, on demande de préciser 4 conditions successives justifiant certains calculs approchés. Elles seront désignées par et . Vous les présenterez sous la forme « , et étant deux grandeurs physiques. Par exemple la condition s'écrit « .
III.A.1) On considère un dipôle électrique statique de moment dipolaire constant et d'extension spatiale placé à l'origine des coordonnées. Le
potentiel électrostatique qu'il produit en un point de l'espace, repéré par et est donné par :

Préciser la condition qui permet d'obtenir ce résultat approché. Donner l'expression du champ électrique correspondant.
III.A.2) Déterminer l'équation polaire des lignes de champ sous la forme . Ces courbes sont représentées sur la figure 7 de l'annexe. La compléter en traçant l'allure de 3 lignes équipotentielles et en représentant par une flèche le vecteur moment dipolaire .
III.A.3) Déterminer de même l'équation polaire des lignes de niveau de , c'est-à-dire des courbes sur lesquelles le champ électrique garde, en norme, une valeur constante. Ces courbes sont représentées sur la figure 8 avec la même orientation de .
III.A.4) L'antenne portée par la victime, dont la dimension est de l'ordre du centimètre, se trouve à l'origine des coordonnées, orientée parallèlement à . Elle est parcourue par des courants de fréquence . Déterminer numériquement la longueur d'onde du rayonnement qu'elle émet.
III.A.5) Le champ magnétique rayonné par l'antenne est donné par

où est le moment dipolaire de l'antenne. Outre la condition , ce résultat suppose que l'on traite toute l'antenne comme un dipôle unique. Plus explicitement, cette expression néglige les déphasages entre les ondelettes émises par les différents points de l'antenne vers le point . À quelle condition cela est-il valable?
III.A.6) Le champ électrique rayonné par l'antenne est alors donné par:

Expliciter sans calculs le raisonnement conduisant à cette expression.
Les lignes de champ correspondantes sont représentées, à un instant donné, sur la figure 9. La compléter en représentant par une flèche le vecteur moment dipolaire .
III.A.7) Dans quelle partie de l'espace, appelée zone statique, s'identi-fie-t-il à chaque instant au champ électrostatique qui serait créé par le dipôle
permanent de moment ? Écrire en la justifiant la condition qui définit cette région.
III.A.8) Définir par une condition la zone dite de rayonnement. Donner l'expression simplifiée de dans ce cas.

III.B.1) Le sauveteur est muni d'une antenne réceptrice reliée à un système audio. Il détecte le signal émis par l'appareil de la victime. À sa recherche, il parcourt quelques dizaines de mètres autour de . Discuter numériquement la validité de chacune des conditions à . Le sauveteur se trouve-t-il dans la zone de rayonnement de l'antenne ou dans la zone statique?
Les questions suivantes présentent deux méthodes utilisables par le sauveteur pour localiser la victime. Elles appellent des constructions graphiques que vous rendrez sur le document réponse. Le sauveteur en déplacement sur la pente neigeuse sera représenté par un point décrivant une courbe dans le plan de la figure. On suppose que l'antenne émettrice de la victime est parallèle à la surface du sol et enfouie à faible profondeur. Les figures 7,8 et 9 sont alors tracées dans le plan de la surface neigeuse sur laquelle se déplace le sauveteur.
III.B.2) Recherche directionnelle : la direction dans laquelle pointe l'antenne réceptrice du sauveteur est repérée par un vecteur unitaire contenu dans le plan de la figure et le signal perçu est proportionnel à la valeur efficace de . Immobile en un point, le sauveteur fait tourner son récepteur jusqu'à percevoir un signal maximal, puis avance de quelques pas dans la direction de l'antenne. Il s'arrête alors et réitère cette opération jusqu'à se trouver tout près de la victime. Le long de quelle courbe se déplace-t-il approximativement? Partant de l'un des points ou placé sur les figures 7,8 et 9 (à vous de choisir le point le plus approprié), tracer le chemin suivi par le sauveteur jusqu'à la victime.
III.B.3) Recherche en croix : dans cette méthode, l'orientation du récepteur n'est pas aussi fondamentale. Seules sont pertinentes les variations du signal lors du déplacement du sauveteur. Pour simplifier, nous supposerons donc que ce signal est fonction uniquement de .
Partant d'un point le sauveteur marche en ligne droite en écoutant croître le signal. Il s'arrête au point où le signal atteint sa valeur maximale. Là, il part dans la direction orthogonale produisant une augmentation du signal pour atteindre un nouveau maximum en . Il réitère ce processus jusqu'à se trouver tout près de la victime.
En choisissant pour l'un des points ou (à vous de choisir à nouveau le plus approprié) et démarrant dans la direction définie par le vecteur de
la figure 10, tracer le chemin suivi par le sauveteur. On pourra considérer que la victime est atteinte après 2 ou 3 itérations.
III.B.4) En pratique, la recherche en croix peut s'avérer plus complexe que dans le cas simple décrit ci-dessus. Dans le cas particulier d'une antenne émettrice enfouie profondément et normale à la surface de la neige, l'antenne réceptrice étant tangente au champ neigeux, que dire du signal reçu quand le sauveteur arrive au-dessus de la victime?
-••FIN •••

Annexe du sujet de Physique I PC
Cette annexe doit être rendue avec les autres copies.
Attention, il ne pourra pas être délivré d'autre exemplaire de ce document.

Filière PC

Figure 8 - Lignes de niveau de