Centrale Physique 1 TSI 2010

Ce problème porte sur l'étude sommaire du confinement d'un électron (de masse et de charge ) dans une petite région de l'espace à l'aide d'un champ électromagnétique. On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que les forces électromagnétiques. L'électron se déplace dans le référentiel , supposé galiléen ; on appelle respectivement les vecteurs unitaires des axes et . Suivant les questions, on repérera un point de l'espace par ses coordonnées cartésiennes ( ) ou cylindriques ( ) avec .

L'électron, se déplaçant dans le vide, est soumis à l'action d'un champ magnétique uniforme et permanent (indépendant du temps). Le champ magnétique est colinéaire à . On pose .
À l'instant initial, l'électron se trouve en avec la vitesse et désignent des constantes positives).
I.A - Déterminer la coordonnée de l'électron à l'instant .
I.B - On étudie la projection du mouvement de l'électron dans le plan .
I.B.1) Déterminer les composantes et de la vitesse de l'électron en fonction de et du temps .
I.B.2) En déduire les coordonnées et de l'électron à l'instant .
I.B.3) Montrer que la projection de la trajectoire de l'électron dans le plan Oxy est un cercle de centre et de rayon . Déterminer les coordonnées et de , le rayon et la fréquence de révolution de l'électron sur ce cer-

cle en fonction de et . Tracer, avec soin, le cercle dans le plan . Préciser en particulier le sens de parcours de l'électron sur .
I.C - Application numérique : calculer la fréquence pour .
I.D - Tracer l'allure de la trajectoire de l'électron dans l'espace. L'électron est-il confiné au voisinage de ?

À l'aide d'électrodes de forme appropriée (cf figures 1 et 2), on crée autour du point , dans une zone vide de charges, un champ électrostatique quadrupolaire de révolution autour de l'axe , dérivant du potentiel :
où et sont des constantes.
On peut également mettre sous la forme .

II.A - Étude du potentiel et du champ
II.A.1) À quelle équation aux dérivées partielles doit satisfaire le potentiel ?
II.A.2) En déduire une relation entre et .
II.A.3) Les surfaces internes des 2 électro et , de révolution autour de , ont pour équation : (les points et de la figure 2 ont respectivement pour ordonnées et sur l'axe . Ces 2 électrodes sont au potentiel nul (cf figure 3). La surface interne de l'électrode latérale également de révolution autour de , a pour équation : (le point de la figure 2 est à la distance de l'axe ). Cette élec-

trode est au potentiel . On définit la constante positive par .
Exprimer le potentiel en fonction de et .
II.A.4) Représenter, au voisinage du point , dans le plan méridien (voir Figure 2), les lignes équipotentielles (préciser en particulier les lignes équipotentielles qui passent par ) et les lignes de champ en justifiant brièvement le schéma. Préciser également le sens du champ sur les lignes de champ.
II.A.5) Représenter, au voisinage du point , dans le plan , les lignes équipotentielles et les lignes de champ, en précisant le sens du champ sur les lignes de champ.
II.A.6) Calculer les composantes cartésiennes et du champ en un point en fonction de .

II.B.1) Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes et . On introduira la constante

II.B.2) Montrer que le mouvement de l'électron suivant (mouvement longitudinal) est périodique et déterminer sa fréquence en fonction de .
II.B.3) Application numérique : . Calculer . Comparer les valeurs numériques de et de .
II.B.4) Montrer que le mouvement de l'électron dans le plan Oxy (mouvement transversal) n'est pas borné. Il n'y a donc pas confinement de l'électron au voisinage de dans le champ quadrupolaire.

L'électron est maintenant soumis simultanément au champ magnétique de la Partie I et au champ électrique quadrupolaire de la Partie II.
III.A - Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes et . On utilisera les constantes et .
III.B - Montrer que le mouvement longitudinal suivant l'axe , déterminé à la question II.B.2) n'est pas modifié.
III.C - Pour déterminer le mouvement transversal dans le plan , on utilise la variable complexe .
III.C.1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par .
III.C.2) Montrer que l'électron sera confiné autour de si la pulsation est supérieure à une certaine valeur que l'on exprimera en fonction de . En déduire la valeur minimale de qui permet le confinement de l'électron. Exprimer en fonction de et .
III.C.3) On suppose dorénavant , ce qu'indiquaient les valeurs numériques précédentes. Déterminer, dans ce cas, en fonction de deux pulsations et du temps et de deux constantes d'intégration et qu'on ne cherchera pas à déterminer (la constante est associée à la pulsation et la constante à la pulsation ). Exprimer et en fonction de et (compte tenu de ).
III.C.4) Application numérique : calculer les fréquences et associées aux pulsations et .
III.C.5) Montrer qu'à chaque pulsation ou est associé un mouvement circulaire de l'électron.
III.D - Le mouvement de l'électron apparaît donc comme la superposition de trois mouvements : (1) un mouvement circulaire à la pulsation dans le plan ; (2) un second mouvement circulaire à la pulsation dans le plan ; (3) un mouvement sinusoïdal longitudinal à la pulsation le long de l'axe .

Compte tenu des valeurs numériques des différentes pulsations et en supposant nettement plus petit que , tracer l'allure de la projection de la trajectoire de l'électron dans le plan , puis l'allure générale de la trajectoire dans l'espace.

Toute particule chargée accélérée émet une onde électromagnétique. L'énergie de ce rayonnement étant prélevée sur l'énergie mécanique, il en résulte un amortissement des oscillations qu'on se propose de caractériser dans cette partie.
IV.A - On considère le mouvement longitudinal de l'électron suivant l'axe .
IV.A.1) Montrer qu'à ce mouvement, de pulsation ,on peut associer une énergie mécanique

IV.A.2) L'amplitude des oscillations variant lentement, on définit l'amplitude quadratique moyenne des oscillations de l'électron par:

Exprimer en fonction de et ; puis en fonction de et de la valeur quadratique moyenne de l'accélération longitudinale de l'électron suivant .
IV.A.3) La puissance moyenne rayonnée par l'électron est donnée par la relation :

De ce fait, l'énergie mécanique diminue lentement avec une constante de temps très grande devant la période d'oscillation de l'électron suivant . Écrire l'équation qui lie et et en déduire l'équation différentielle que vérifie l'énergie .
IV.A.4) Montrer que l'énergie décroît de manière exponentielle et exprimer la constante de temps en fonction de et .
IV.A.5) Application numérique : calculer et comparer la valeur obtenue à celle de la période .
IV.B - On considère le mouvement transversal de l'électron dans le plan

On admet (même si cela n'est pas tout à fait vrai, les ordres de grandeur sont respectés) que les résultats précédents sont transposables directement et indépendamment aux deux mouvements circulaires de pulsations et ; on sup-
pose donc que l'expression de la constante de temps en fonction de la pulsation (cf question IV.A.4) est inchangée.
IV.B.1) Application numérique : calculer les constantes de temps et associées respectivement aux mouvements circulaires de pulsations et .
IV.B.2) Expliquer pourquoi on peut ainsi supposer que le mouvement circulaire associé à la pulsation a un rayon nettement plus petit que celui associé à la pulsation (cf question III.D).

Dans cette partie, on considère uniquement le mouvement longitudinal de l'électron suivant et on ne tient pas compte de l'amortissement de ce mouvement dû au rayonnement.
L'oscillation de l'électron suivant provoque une variation des charges des électrodes et donc un courant dans le circuit électrique extérieur aux électrodes (tout comme une variation de charges des armatures d'un condensateur produit un courant dans le circuit extérieur au condensateur). Ce courant peut dissiper de l'énergie par effet Joule dans la résistance du circuit. Par suite, l'énergie mécanique de l'électron diminue, ce que l'on peut modéliser en ajoutant à la force électromagnétique qui agit sur l'électron (cf Partie III), une force supplémentaire , de frottement.
On considère le circuit de la figure 4 où on a ajouté une résistance et un générateur de tension sinusoïdale ; désigne l'intensité du courant dans la résistance .
On admet que la force a pour expression

désigne un coefficient caractéristi-

que de la forme des électrodes.
V.A - Quelle est l'unité du coefficient ? Justifier brièvement votre réponse.
V.B - Écrire la nouvelle équation différentielle qui régit le mouvement longitudinal de l'électron suivant .
V.C - On définit le facteur de qualité du système par .

En déduire l'équation différentielle que vérifie la tension aux bornes de la résistance . On fera apparaître les constantes et dans cette équation.
V.D - On se place en régime sinusoïdal établi. Dans ces conditions, la tension peut se mettre sous la forme et désignant deux constantes indépendantes du temps.
V.D.1) Déterminer, en notation complexe, la tension .
V.D.2) En déduire l'expression des amplitudes et en fonction de , et de la pulsation .
V.D.3) Tracer l'allure des amplitudes et en fonction de la pulsation . L'étude de ces courbes permet d'avoir les informations sur le mouvement longitudinal de l'électron suivant .
V.E - L'analyse des amplitudes et est réalisée par détection synchrone. Le principe de cette méthode est expliqué figure 5.

déphasage à la tension ( est identique à la tension délivrée par le générateur relié à l'électrode ).

b) En déduire que la tension est de la forme . Pour une pulsation donnée, tracer l'allure du déphasage en fonction de la capacité .

V.E.2) Écrire la tension à la sortie du multiplieur sous la forme : où désigne la composante continue de et sa composante variable. Exprimer en fonction de et en fonction de , , et .
V.E.3) Un filtre passe-bas est représenté figure 7.
a) Déterminer, en notation complexe, la fonction de transfert

b) Représenter l'allure du diagramme de Bode en amplitude de ce filtre.
c) À quelle condition portant sur le produit , le filtre passe-bas est-il efficace? On suppose que cette condition est réalisée par la suite.
d) Exprimer la tension de sortie en fonction et .
V.E.4) Quelle valeur faut-il donner au déphasage pour que la tension de sortie soit proportionnelle à ? Comment faut-il choisir dans ce cas ?
V.E.5) Quelle valeur faut-il donner au déphasage pour que la tension de sortie soit proportionnelle à ? Déterminer la valeur à donner à en fonction de et de la pulsation dans ce cas.
V.E.6) Compte tenu des valeurs numériques des différentes fréquences caractéristiques du mouvement de l'électron, peut-on utiliser les circuits électroniques proposés dans cette partie?