Centrale Physique 2 PC 2004

L' épreuve est constituée de trois parties indépendantes, ayant en commun l'écoulement d'un fluide en géométrie cylindrique. Dans la partie I, l'écoulement d'air dans un tube cylindrique permet une mesure de la viscosité de l'air. Dans la partie II, on étudie une mesure électromagnétique de la vitesse d'un liquide conducteur dans un tuyau cylindrique isolant. La partie III s'intéresse à l'émission d'ondes acoustiques par un tuyau cylindrique crénelé.

Le montage expérimental est représenté sur la figure 1 . Un récipient de volume communique avec l'atmosphère (pression pascals et température ) par un tube cylindrique vertical ( ) de rayon et de longueur muni d'un robinet ( ). Un tube en « U » contenant du mercure permet de suivre l'évolution de la pression dans le récipient par lecture de deux hauteurs et . On note (majuscule) la pression dans le récipient et (minuscule) la pression dans le tube ( ).
Le robinet ( ) étant fermé, on remplit avec une pompe (non représentée sur la figure) le récipient jusqu'à ce que la pression y atteigne la valeur avec ; le récipient est

laissé au repos un moment afin de rétablir l'équilibre thermique avec l'extérieur à la température .
On ouvre alors le robinet ( ) pendant une durée puis on le ferme ; un nouvel équilibre est atteint avec une température uniforme dans tout le dispositif et une pression finale dans le récipient.

On s'intéresse à l'écoulement de l'air dans le tube. L'air est supposé vérifier l'équation d'état des gaz parfait et on note sa masse molaire ; on suppose la température uniforme dans le tube, égale à . Lécoulement est décrit par un champ de vitesse avec indépendant de et par un champ de pression indépendant de . On note la densité moléculaire et la masse volumique. On néglige les effets de la pesanteur sur l'écoulement dans le tube.
I.A.1) On se propose d'obtenir un ordre de grandeur de la viscosité dynamique de l'air à la température .
a) Par analyse dimensionnelle, exprimer la viscosité cinématique de l'air en fonction du libre parcours moyen et de la vitesse quadratique moyenne en adoptant, sans justification, la valeur pour le facteur multiplicatif sans dimension.
b) Soit la masse molaire de l'air, la constante des gaz parfaits, montrer que :

c) On rappelle que dans le modèle des sphères dures, on a où est le diamètre des molécules. En déduire une estimation numérique de . Pour la suite du problème, il est par ailleurs important de noter que ne dépend pas de la pression ; c'est donc une constante dans tout l'écoulement.
I.A.2) On considère le système fermé constitué du fluide contenu à l'instant dans le cylindre élémentaire de rayon entre les cotes et (figure 2). On donne l'expression de la résultante des forces de viscosité subies par ce système :

où est la viscosité dynamique de l'air et où . Indiquer s'il convient de prendre ou en justifiant la réponse qualitativement. Exprimer par ailleurs la résultante des forces de pression sur ce système.

I.A.3) Dans toute la suite, on néglige le terme associé à l'accélération d'une particule de fluide dans l'équation du mouvement. En déduire l'équation locale :

I.A.4) Exprimer en fonction de .
I.A.5) Montrer que le débit volumique à la cote vaut .
I.A.6) Pour la suite, on note la masse volumique et le débit volumique en . On fait l'approximation des régimes quasi-stationnaires, de telle sorte que . Quelle est la signification physique de cette relation?

I.B.1) En utilisant l'équation d'état des gaz parfaits, exprimer la relation (valable aussi bien dans le tube que dans le réservoir) entre la masse volumique, la pression ( ou ), la température et la constante où désigne la masse molaire et la constante des gaz parfaits.
I.B.2) On admet la continuité de la pression à l'entrée du tube soit . Déduire des questions précédentes la relation:

I.B.3) Exprimer la variation de la masse d'air contenue dans le récipient par unité de temps, en fonction de et de .
I.B.4) Établir une autre expression de en fonction cette fois du volume du récipient, de et , où désigne toujours la pression dans le récipient.
I.B.5) Soit la durée entre l'ouverture et la fermeture du robinet. Soient et les pressions initiale et finale dans le récipient. En remarquant que :

montrer que :

I.C.1) Comment mesureriez-vous le volume du récipient dans votre salle de travaux pratiques?
I.C.2) On donne et . Le tube manométrique contient du mercure de masse volumique et . On pourra utiliser le fait que la pression atmosphérique correspond à de mercure.
Dans l'état initial (pression ) on mesure et . Dans l'état final (pression ) on obtient et . La durée de la fuite est . Calculer puis .
I.C.3) On se propose de se faire une idée du nombre de chiffres significatifs qui peuvent être retenus dans la mesure de compte tenu des incertitudes sur les différentes mesures ( ) en limitant l'étude à l'influence du seul paramètre . Reprendre le calcul de avec la valeur , les autres valeurs étant inchangées. En déduire un affichage cohérent de la mesure de .

On considère l'écoulement d'un liquide légèrement conducteur (par exemple du sang) dans un tuyau cylindrique isolant de rayon (cf. figure 3). On impose un champ magnétique uniforme . On se place en régime stationnaire. Dans un premier temps on se place en coordonnées cartésiennes et on suppose que le champ des vitesses de l'écoulement réel est donné par: où est une constante donnée.

II.A.1) On définit la vitesse moyenne du
liquide comme la vitesse d'un écoulement uniforme fictif qui donnerait le même débit volumique à travers une section du tube que l'écoulement réel. Exprimer en fonction de et .
II.A.2) On rappelle la loi d'Ohm locale donnant le vecteur densité de courant en fonction du potentiel électrique , de la conductivité du liquide, de la vitesse du liquide et du champ magnétique . Quel phénomène physique décrit le terme ?
II.A.3) Montrer que : .
II.A.4) Rappeler sans démonstration l'équation locale de conservation de la charge. En déduire qu'on peut chercher la densité de courants sous la forme .
II.A.5) On rappelle que . Dans la suite on cherche de la forme où ne dépend pas de la cote du point . En déduire que :

II.A.6) Dans toute la suite, on se place en coordonnées cylindriques d'axe on en utilise le trièdre local ( ) associé. On admet que la solution de l'équation (1) est de la forme :

où est une constante. On rappelle que . Exprimer les composantes et de en fonction de et .
II.A.7) Quelle est la condition aux limites sur à la surface du tuyau isolant? En déduire la valeur de la constante en fonction de et puis les expressions de et en fonction de et .
II.A.8) En utilisant les expressions de et , déterminer l'équation différentielle des lignes de courants. Vérifier que ce sont des courbes constante Tracer l'allure de quelques lignes de courants.

II.B.1) Montrer que

II.B.2) On place un voltmètre entre les points et . Exprimer en fonction de et .
II.B.3) En déduire l'expression de en fonction de , et de définie en II.A.1. Calculer pour et sachant que .
II.B.4) Citer (sans aucun détail) une autre méthode de mesure de la vitesse d'un fluide.

Dans ce qui précède on a supposé que le champ magnétique effectivement perçu au sein du fluide est le champ créé par les sources extérieures de courant, supposées constantes, ce qui n'est qu'une approximation car les courants induits calculés dans la partie II.A créent un champ qu'on notera .
II.C.1) Le tube étant supposé infiniment long selon , justifier que le champ magnétique induit est de la forme avec indépendant de .
II.C.2) Quelles sont les deux équations locales dont est solution le champ ? Vérifier que est solution de ces équations pour . On admettra qu'il s'agit bien de la solution.
II.C.3) En exploitant l'expression de en fonction de et établie en II.A.1, en déduire un critère pour que . Vérifier l'homogénéité de ce critère (on pourra par exemple faire référence à l'expression de l'épaisseur de peau). Dans le cas du sang ( ) ce critère est-il vérifié pour les valeurs numériques de la question II.B. 3 ?

On considère le tuyau crénelé souple représenté en coupe sur la figure 4 et caractérisé par la période des créneaux et les sections et . Lorsqu'on place le tuyau crénelé face à un écoulement d'air de vitesse il «chante»: on entend un son sinusoïdal dont la fréquence dépend de et de .

Pour engendrer l'écoulement dans le tuyau crénelé, la notice d'un jouet fonctionnant sur ce principe incite non pas à souffler dans le tube mais à le faire tournoyer autour de sa tête. On modélise ceci en supposant le tube coudé et mis en rotation à vitesse angulaire constante autour d'un axe fixe

dans une configuration telle que celle représentée sur la figure 5. La partie verticale du tuyau est caractérisée par une hauteur négligeable devant la longueur de la partie horizontale. On se propose d'interpréter cette observation.
On étudie l'écoulement dans le référentiel tournant dont est l'axe horizontal du tuyau et dont est la verticale ascendante et la direction du vecteur-rotation. est le référentiel galiléen du laboratoire. L'écoulement est supposé stationnaire dans ( ), incompressible et homogène de masse volumique . On note le module du champ des vitesses dans ( ) et la pression en dans le tuyau. On néglige l'influence de la pesanteur et on suppose pour simplifier le tuyau lisse, de section constante.
III.A.1) Expliciter les forces d'inertie volumiques subies par une particule de fluide située à la distance de l'axe, en fonction de et .
III.A.2) On néglige les forces volumiques de viscosité et de pesanteur. Montrer que :

est une constante sur la ligne de courant dont on suppose l'existence, notée ( ) sur la figure, et confondue avec l'axe du tuyau dans sa partie horizontale ou verticale.
III.A.3) Soit un point sur la ligne de courant ( ) situé sur l'axe à l'extérieur du tuyau, tel que et . Soit le point situé à l'extrémité du tuyau. On admet que et on note . Exprimer la vitesse en fonction de et .
III.A.4) Déterminer et en un point quelconque de la partie horizontale du tuyau en fonction de et . Tracer l'allure du graphe de .

Dans toute la suite, on suppose pour simplifier que le tuyau est rectiligne et fixe dans le référentiel galiléen dont est l'axe du tuyau, le courant d'air de vitesse étant imposé en soufflant dans le tuyau (et non plus en le coudant et en le faisant tourner).

III.B.1) On admet que la surpression s'annule aux extrémités et du tuyau. Donner les expressions des fréquences propres d'un tuyau lisse en fonction de , de la célérité du son et d'un entier . Sans chercher à expliciter la surpression, rappeler l'allure de son graphe en fonction de pour les deux premiers modes propres et . Dans la suite de la partie III.B, on suppose que les fréquences émises par un tuyau crénelé sont les mêmes que celles d'un tuyau lisse. Cette approximation sera confrontée à l'expérience dans la question III.B. 4 et on s'en affranchira dans la partie III.C.
III.B.2) Pour un tuyau crénelé donné, plus la vitesse moyenne de l'air est élevée, plus le son entendu est de fréquence élevée. Pour interpréter ce fait, on suppose qu'une harmonique de fréquence se fait entendre si la fréquence avec laquelle une particule d'air en mouvement dans le tuyau crénelé rencontre les créneaux correspond à . En déduire une relation entre et .
III.B.3) Cependant, on observe que certaines fréquences basses ne se font pas entendre. Pour interpréter ce fait on suppose qu'une condition nécessaire d'émission du son est que l'écoulement soit turbulent.
a) Interpréter sommairement cette hypothèse en indiquant comment se manifeste concrètement le caractère turbulent de l'écoulement.
b) On note la viscosité cinématique de l'air. Exprimer en fonction de et le nombre de Reynolds Re de l'écoulement et justifier l'existence d'une fréquence minimale .
III.B.4) La fréquence minimale émise par un tuyau tel que et vaut .
a) Calculer et conclure.
b) Quel est l'ordre de grandeur de la célérité du son dans l'air à température ambiante ? En déduire le numéro probable de l'harmonique du tuyau correspondant à .
c) Justifier l'approximation «forces de viscosité négligeables» de la question III.A. 2 en évaluant en ordre de grandeur le rapport du terme négligé sur le terme associé à l'accélération dans l'équation du mouvement. Ces forces de viscosité continueront à être négligées dans la suite.

Le tuyau crénelé est désormais modélisé comme une mise en série de cellules identiques représentées par la figure 4. Le tuyau est compris entre et et la dernière cellule est centrée en .
III.C.1) On décrit dans cette question la propagation de l'onde acoustique dans une partie du tuyau de section constante par le champ des vitesses , par le champ de pression , par le champ de masse volumique et par le débit volumique est la vitesse du courant d'air imposé et le débit volumique associé. On limite les calculs à l'ordre un pour les termes portant l'indice 1.
a) Écrire l'équation d'Euler en projection selon . À quelle condition sur et (célérité du son) peut-on négliger le terme d'accélération convective devant le terme d'accélération locale, ce qu'on fait dans la suite ?
b) Dans la suite on étudie un régime sinusoïdal et on pose en notation complexe :

Exprimer en fonction de la section du tuyau, de , et de .
III.C.2) On étudie la cellule numéro [0] : pour le tuyau a pour section et pour ou la section est avec

Un onde incidente plane progressive monochromatique arrive de . On cherche alors les surpressions dans la cellule [0] sous la forme suivante : ( , complexes)

a) Justifier rapidement la légitimité du choix de ces expressions et exprimer dans les trois domaines en fonction de , et .
b) On admet la continuité du débit volumique et de la pression en et . En déduire quatre équations reliant et
. Une élimination non demandée entre ces quatre équations conduit aux deux relations suivantes où ( )* désigne le conjugué de ( ) :

avec et .
III.C.3) On étudie désormais l'association des blocs. On note la surpression avant le motif : .
a) Montrer que :

On peut donc relier les coefficients après le (et dernier) motif et les coefficients ( ) caractérisant la surpression avant le premier motif :

b) Pour calculer , on peut utiliser la relation issue du théorème de Cayley-Hamilton ; représente la trace de la matrice ( ) et ( ) la matrice identité. On en déduit aisément (non demandé) la relation :

où les sont les polynômes de Chebycheff de seconde espèce définis par la relation de récurrence :

Dans le langage de programmation de votre choix (que vous indiquerez) écrire un programme permettant de calculer les polynômes pour . Citer sans aucun détail une autre méthode de calcul de la puissance d'une matrice.
III.C.4) La surpression doit s'annuler en et en . En déduire deux relations linéaires (4) entre et , et (5) entre et . Les relations (2) et (3) imposent deux autres relations linéaires (6) et (7) entre et mettant en jeu les polynômes qu'on ne demande pas d'écrire. La condition de compatibilité des relations (4), (5), (6) et (7) fait alors apparaître deux familles de solutions pour (calculs non demandés).
III.C.5) Une première famille de solutions correspond à la condition . Où se trouvent pour ces solutions les noeuds de surpression? Pour calculer les fréquences correspondantes. Sont elles audibles?
III.C.6) La deuxième famille de solutions est telle que :

Pour le tuyau crénelé correspondant au «jouet musical» avec , et , les premières valeurs de , mesurées en sont:

Commenter en liaison avec III.B.4.
III.C.7) Les calculs précédents permettent aussi d'obtenir une expression du rapport de la puissance acoustique transmise à la sortie d'un tuyau crénelé sur la puissance acoustique incidente à son entrée . En considérant dans cette question associée à un rayon de associée à un rayon de 5 cm et différentes valeurs du nombre de créneaux, on obtient les courbes donnant en fonction de la fréquence représentées sur les figures et . Commenter et proposer une application de ce dispositif.