Centrale Physique 2 TSI 2003

Les quatre parties de ce problème sont largement indépendantes.

Le dipôle de la figure 1 (une bobine d'inductance et de résistance est montée en série avec un condensateur de capacité ), alimenté par une tension sinusoïdale

de pulsation variable, est parcouru par un courant

I.A.1) Exprimer l'impédance complexe de ce dipôle.
I.A.2) En déduire l'impédance (réelle) de ce dipôle et le retard de phase du courant sur la tension en fonction de la pulsation propre

et du facteur de qualité

de ce circuit.
I.A.3) Tracer le graphe du rapport

en fonction du rapport

I.A.4) Quelle est la valeur maximale de l'amplitude du courant? Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte?
Tracer les graphes du rapport

et de la phase en fonction de .
I.A.5) L'acuité de la résonance est définie par le rapport

représente la bande de pulsations dans laquelle l'amplitude du courant vérifie

Déterminer en fonction de . Dans quel domaine varie la phase pour ?

On considère maintenant le dipôle de la figure 2 (la bobine est montée en dérivation avec le condensateur ), alimenté par la tension sinusoïdale de pulsation variable.

I.B.1) Exprimer l'impédance complexe de ce dipôle en fonction de et .
I.B.2) En déduire l'expression en fonction de et , et ayant été définis à la question précédente).
I.B.3) Montrer que, lorsque le facteur de qualité est très élevé ( » 1 ) et la pulsation pas trop faible

peut se mettre sous la forme approchée :

On utilisera ce résultat dans toute la suite de la question I.B.
I.B.4) Quelle est la valeur de pour la pulsation ? Quel est alors le comportement de ce circuit?
I.B.5) On suppose . Déterminer les valeurs approximatives des intensités réelles et qui traversent respectivement la bobine et le condensateur en fonction de , du temps et de l'amplitude de la tension d'alimentation du dipôle. Commenter les résultats obtenus.

II.A - Dans le montage amplificateur de la figure 3, l'amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire. Alimenté par une tension d'entrée , il délivre une tension de sortie .

Calculer le rapport . Que vaut le courant d'entrée ?
II.B - La figure 4 représente de manière symbolique l'amplificateur de tension équivalent au circuit de la figure 3. Déterminer le gain ( est une constante réelle et positive), la résistance d'entrée et la résistance de sortie de cet

amplificateur.
II.C - On considère le circuit de la figure 5 contenant deux amplificateurs de tension tels que celui représenté figure 4 , l'un de gain et l'autre de gain légèrement inférieur à 2 . On pose

II.C.1) Ce circuit est alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation variable ; déterminer le rapport

entre les tensions complexes de sortie et d'entrée :

II.C.2) Calculer le module de en fonction de . Déterminer en particulier la valeur maximale de . Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte (ne pas oublier que est voisin de 2 tout en étant inférieur à 2 ) ? Calculer l'acuité de la résonance en fonction de ( a été définie dans la partie I). Comment peut-on faire varier facilement cette acuité ?
II.C.3) Tracer le graphe de en fonction de .
II.C.4) On suppose , . Le circuit est maintenant alimenté par une tension rectangulaire périodique de période , de rapport cyclique

et d'amplitude

représentée figure 6. Déterminer la valeur de la tension de sortie en régime établi, compte tenu des valeurs numériques.

Dans le référentiel ( : vecteurs unitaires ), supposé galiléen, une bobine , plate, rigide, de forme carrée de côté , constituée de spires (d'un fil homogène de section négligeable) jointives, de résistance , d'inductance négligeable, peut tourner autour de l'axe sans frottement. L'axe coïncide avec l'axe de symétrie de la bobine et on désigne par le moment d'inertie de celle-ci par rapport à . Cette bobine est plongée dans un champ magnétique radial , perpendiculaire à , qui règne dans les entrefers formés par les pôles d'un aimant permanent et un noyau cylindrique intérieur en fer. Elle est reliée à un générateur de tension sinusoïdale et, en régime sinusoïdal établi, elle est parcourue par un courant sinusoïdal ; sa position est repérée par l'angle désignant le vecteur unitaire normal à la bobine (figures 7 et 8 ).
Enfin, la bobine est soumise à l'action d'un ressort spiral qui exerce un couple de rappel . On supposera que la norme du champ agit sur toute la longueur a des côtés opposés et et est supposée constante dans le domaine de variation de .

III.A - Quel est le moment des efforts de Laplace qui s'exercent sur le côté ? Sur le côté ? En déduire celui qui s'exerce sur la bobine puis «l'équation différentielle mécanique» qui relie les variables et .
III.B - Exprimer la force électromotrice d'induction induite par le mouvement de la bobine, puis écrire «l'équation différentielle électrique» qui relie les variables et .
III.C - En déduire que l'équation différentielle à laquelle satisfait l'angle se met sous la forme :

et exprimer les coefficients constants et en fonction de la constante , de et .
III.D - On pose

En quelles unités se mesurent respectivement les coefficients et ? Justifier brièvement vos réponses.
III.E - En régime sinusoïdal établi, on cherche une solution de la forme
.
Exprimer l'amplitude des oscillations en fonction de et . Comparer l'expression du rapport
et celle de obtenue lors de la partie II.
Quelle est l'expression du facteur correspondant au coefficient dans l'expression de ?
III.F - Déterminer la valeur maximale de l'amplitude de l'oscillation de la bobine. Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte (ne pas oublier que « 1 USI) ? Déterminer également la valeur de l'acuité de la résonance mécanique de la bobine.
III.G - Application numérique : on donne

III.G.1) Calculer .
III.G.2) Quel est le mouvement de la bobine lorsqu'elle est alimentée par une tension sinusoïdale de fréquence ? Pourquoi évoque-t-on ce domaine de fréquences? Quel paramètre faudrait-il modifier si l'on souhaite que la bobine puisse détecter de manière significative un faible courant de fréquence ?
III.H - Quel intérêt peut présenter un montage électronique tel que celui de la figure 5 ?

Sur une tige , de masse négligeable et de longueur , est soudé à une distance un point matériel de masse . Cette tige peut osciller sans frottement autour de l'axe horizontal du référentiel ( : vecteurs unitaires ), et sa position est repérée par l'angle

Un ressort relie l'extrémité de la tige à un point fixe dont la position est définie par la longueur et l'angle constant

ce ressort exerce sur la tige en une force proportionnelle à sa longueur soit ( désignant une constante positive). Enfin, l'air ambiant exerce sur la tige un couple de frottement fluide de faible intensité. L'accélération de la pesanteur vaut (figure 9).

IV.A - Montrer que le moment cinétique de la tige dans le référentiel ( ) se met sous la forme :

et donner la valeur de la constante .
IV.B - Le référentiel ( ) lié au sol est supposé galiléen.
IV.B.1) En appliquant le théorème du moment cinétique en à la tige , dans le référentiel ( ), en projection sur l'axe , déterminer l'équation différentielle à laquelle satisfait l'angle .
IV.B.2) Quelle est la position d'équilibre de la tige ? On souhaite que soit nul. Quelles conditions doivent vérifier les différents paramètres pour qu'il en soit ainsi? On supposera cette condition remplie dans toute la suite.
IV.C - On suppose que le sol, et donc le référentiel ( ), est animé d'un mouvement de translation vertical et sinusoïdal de pulsation et d'amplitude soit :

IV.C.1) Quelle est, dans le référentiel non galiléen (Oxyz), l'expression de la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur la tige ? Quelle est celle de
son moment par rapport à ? Quelles sont les expressions correspondantes relatives à la force d'inertie de Coriolis?
IV.C.2) En appliquant le théorème du moment cinétique en à la tige , dans le référentiel ( ), en projection sur l'axe , déterminer la nouvelle équation différentielle à laquelle satisfait l'angle .
IV.C.3) On pose

On suppose que reste petit et, en régime sinusoïdal établi, on cherche une solution de la forme . Exprimer l'amplitude des oscillations en fonction de et .
IV.C.4) Quelle est la valeur maximale de l'amplitude des oscillations? Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte (ne pas oublier que ) ? Déterminer également la valeur de l'acuité de la résonance.
IV.C.5) Tracer le graphe du rapport

en fonction du rapport

IV.C.6) Quel peut être l'intérêt de ce dispositif?
IV.C.7) Application numérique : on donne . Le sol vibre à la fréquence avec une amplitude . Quel paramètre peut-on facilement régler pour obtenir la résonance de la tige à la fréquence de vibration du sol ? Donner la valeur numérique correspondante de ce paramètre. Calculer la valeur numérique de .