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Le Blue Fire
Le Blue Fire est l'une des montagnes russes du parc d'attraction Europa-Park, situé à Rust, en Allemagne. Elle est en service depuis le 4 avril 2009. Le nom de l'attraction a été choisi en référence à la couleur de la flamme émise par la combustion du gaz naturel, vecteur énergétique important.
Figure 1 - Vue d'ensemble du Blue Fire
Cette montagne russe fait partie de la famille des montagnes russes lancées (launched coaster) : en effet, l'accélération principale du train a lieu dans la zone de départ, à l'aide d'une longue zone accélératrice rectiligne.
Ce sujet propose de suivre pas à pas le trajet d'un passager du Blue Fire pour étudier quelques aspects physiques et chimiques liés à cette attraction. Il comporte 4 parties indépendantes. Des données numériques utiles ainsi que quelques formules sont regroupées en fin d'énoncé, quand elles ne sont pas redonnées directement dans le texte.
Certaines questions, moins guidées, sont repérées par leur numéro souligné. Elles ne sont pas a priori plus difficiles que les autres, mais demandent de prendre plus d'initiatives. Pour ces questions, ce sont ces initiatives et leur pertinence qui sont évaluées plus que le résultat final. Le barème leur accordera un poids significatif.
Ce sujet propose de suivre pas à pas le trajet d'un passager du Blue Fire pour étudier quelques aspects physiques et chimiques liés à cette attraction. Il comporte 4 parties indépendantes. Des données numériques utiles ainsi que quelques formules sont regroupées en fin d'énoncé, quand elles ne sont pas redonnées directement dans le texte.
Certaines questions, moins guidées, sont repérées par leur numéro souligné. Elles ne sont pas a priori plus difficiles que les autres, mais demandent de prendre plus d'initiatives. Pour ces questions, ce sont ces initiatives et leur pertinence qui sont évaluées plus que le résultat final. Le barème leur accordera un poids significatif.
Partie A - Origines du Blue Fire
I - Gaz naturel
Le gaz naturel est un combustible fossile présent naturellement dans les roches poreuses du sous-sol, exploité par l'Homme pour répondre à une partie de ses besoins énergétiques. Il est principalement utilisé pour la production d'électricité, le chauffage, et comme carburant.
Le terme «gaz naturel» fait spécifiquement référence à un mélange d'hydrocarbures gazeux principalement composé de méthane (
Le terme «gaz naturel» fait spécifiquement référence à un mélange d'hydrocarbures gazeux principalement composé de méthane (
Q1. Donner les formules de Lewis de la molécule de méthane, de la molécule de diazote et de la molécule de dioxyde de carbone.
Dans la suite, pour simplifier, on pourra assimiler le «gaz naturel » à du méthane pur. Au cours de la combustion du méthane, celui-ci réagit avec le dioxygène de l'air pour former de l'eau et du dioxyde de carbone, supposés à l'état de vapeur.
Q2. Établir l'équation de réaction modélisant la combustion du méthane.
Q3. Déterminer la valeur de l'enthalpie standard de réaction de cette réaction, et commenter son signe.
Q4. Déterminer la valeur de l'énergie thermique libérée par la combustion complète d'un mètre cube de méthane pur assimilé à un gaz parfait, à la température initiale
Q3. Déterminer la valeur de l'enthalpie standard de réaction de cette réaction, et commenter son signe.
Q4. Déterminer la valeur de l'énergie thermique libérée par la combustion complète d'un mètre cube de méthane pur assimilé à un gaz parfait, à la température initiale
En 2023, la France a consommé 33,9 milliards de
Q5. Estimer la proportion due à la consommation de gaz naturel dans l'empreinte carbone totale de la France en 2023.
On cherche maintenant à estimer la température dans la flamme bleue produite par la combustion du méthane qui a donné son nom au Blue Fire. Celle-ci peut être modélisée en première approche comme un réacteur adiabatique fermé dans laquelle se déroule la transformation. Ce réacteur est constitué initialement d'air d'une part - de composition molaire de
Q6. Proposer une estimation numérique de la température de la flamme bleue en détaillant la démarche.
II - Le Power to Gas
Le power to gas est une technologie qui permet de convertir l'électricité excédentaire, souvent issue de sources renouvelables comme l'éolien ou le solaire, en gaz. Ce procédé se déroule en plusieurs étapes :
- Électrolyse de l'eau : L'électricité est utilisée pour décomposer l'eau en dihydrogène et en dioxygène.
- Méthanation : L'hydrogène produit est ensuite combiné avec du dioxyde de carbone pour produire du méthane.
La réaction modélisant la transformation ayant lieu au cours de la méthanation est la réaction de Sabatier :
Les conditions opératoires pour la méthanation sont cruciales pour optimiser le rendement de la réaction. Généralement, la réaction se déroule à des températures entre
Le power to gas présente plusieurs avantages, tant sur le plan industriel qu'environnemental :
Le power to gas présente plusieurs avantages, tant sur le plan industriel qu'environnemental :
- Stockage de l'énergie : Il permet de stocker l'électricité excédentaire sous forme de gaz, qui peut être utilisé ultérieurement pour produire de l'électricité ou comme carburant.
- Réduction des émissions de
: En utilisant le capturé dans l'atmosphère ou issu de procédés industriels, le power to gas contribue à la réduction des émissions de gaz à effet de serre. - Intégration des énergies renouvelables : Cette technologie facilite l'intégration des énergies renouvelables intermittentes (éolien, solaire) dans le réseau électrique, en offrant une solution de stockage flexible.
- Diversification des sources énergétiques : Le méthane produit peut être injecté dans le réseau de gaz naturel existant, diversifiant ainsi les sources d'approvisionnement en énergie.
Q7. Déterminer les valeurs de l'enthalpie standard de réaction et l'entropie standard de réaction pour la réaction de Sabatier à 298 K .
Q8. On suppose les enthalpies et entropies standard de réaction indépendantes de la température. Déterminer la valeur de la constante d'équilibre de cette réaction à
Q9. En s'appuyant sur la loi de van't Hoff fournie dans les données, déterminer si une augmentation de température favorise ou défavorise le rendement de cette réaction. En déduire que le choix de la température du milieu réactionnel résulte d'un compromis que l'on précisera.
Q10. En notant
Q11. En déduire l'effet d'une augmentation de la pression du milieu sur le rendement de cette réaction. Commenter le résultat obtenu.
Partie B - Avant le départ
Une fois le train parti de la plateforme d'embarquement, il roule lentement vers la zone de départ, puis s'immobilise. Une mise en scène a alors lieu avec effets visuels et sonores pour faire «monter la pression » chez les passagers. En particulier, au cours de cette mise en scène, un panneau «DANGER » clignote en rouge (voir figure 2), accompagné d'un signal sonore synchronisé avec ce clignotement, juste avant le départ du train. Le but de cette partie est de proposer un modèle de circuit électronique pouvant contrôler le phénomène de clignotement des ampoules situées dans ces panneaux.
Figure 2 - Le panneau danger en fonctionnement juste avant le départ du train.
On considère le circuit électronique représenté sur la figure 3 :
Figure 3 - Le circuit proposé pour l'alimentation de la LED du panneau DANGER
On note
Q12. Rappeler ce qui caractérise un ALI idéal de gain infini, et tracer l'allure de la caractéristique
Q12. Rappeler ce qui caractérise un ALI idéal de gain infini, et tracer l'allure de la caractéristique
Dans la suite, on supposera l'ALI idéal de gain infini. À
Q13. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par
Q14. Montrer qu'à un instant
Q15. Montrer que la sortie va basculer de nouveau de
Q14. Montrer qu'à un instant
Q15. Montrer que la sortie va basculer de nouveau de
Par une méthode similaire, on peut montrer que la sortie va basculer à nouveau de
Q16. Représenter sur un même graphique les évolutions temporelles de
Q17. On construit ce montage avec
Q17. On construit ce montage avec
Q18. On dispose au laboratoire des composants requis, sauf pour le condensateur : on ne dispose que de condensateurs de capacité
Un groupe de 15 ingénieurs et ingénieures en devenir construit alors individuellement ce montage, avec les valeurs indiquées à la question Q17. On relève précisément pour chacun des 15 montages la fréquence mesurée. Voici les résultats obtenus, indiqués en Hz , ainsi que la valeur moyenne et l'écart-type :
| 1,016 | 1,041 | 1,081 | 1,047 | 1,023 |
| 1,051 | 1,093 | 1,073 | 1,019 | 1,065 |
| 1,087 | 1,041 | 1,029 | 1,075 | 1,051 |
Q19. Pourquoi les différents expérimentateurs obtiennent-ils des valeurs différentes? Déterminer la valeur numérique de l'incertitude-type sur la fréquence de l'oscillateur
La lampe utilisée dans le panneau DANGER est une LED ne s'allumant que si la tension à ses bornes est positive, et consommant une puissance de 25 W lorsqu'elle est allumée. On envisage de la brancher directement entre la sortie de l'ALI et la masse.
Q20. Ce montage seul permet-il de générer le clignotement de la lampe? Justifier la réponse.
Partie C - C'est parti!
Le train est d'abord accéléré par un accélérateur linéaire synchrone, puis attaque des figures variées (virage en fer à cheval, loopings, vrilles).
Tous les mouvements seront décrits dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
Tous les mouvements seront décrits dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
I - Le moteur linéaire synchrone
Le dispositif qui permet au train d'accélérer initialement le train dans le Blue Fire est nommé moteur linéaire synchrone (en anglais linear synchronous motor, ou LSM). Le principe est le suivant : des aimants permanents sont placés sous les wagons du train (figure 5) et un champ magnétique est généré par des circuits électriques situés dans les pièces blanches du stator, solidaires du rail (figure 4). L'interaction entre ce champ magnétique et les aimants du train explique la force propulsive responsable de l'accélération.
Figure 4 - Lancement d'un train, les modules du stator sont les plaques blanches verticales.
Figure 5 - Supports des aimants permanents situés sous le train
La description précise de l'interaction est complexe et fait appel à des notions de magnétisme de la matière. On propose ici une description volontairement très simplifiée.
On s'intéresse dans un premier temps uniquement au stator qui permet de créer le champ magnétique. Celui-ci est constitué de paires de spires conductrices supposées circulaires, positionnées face à face dans les deux plaques blanches du stator se faisant face (voir figure 4), alimentées par un courant d'intensité
On s'intéresse dans un premier temps uniquement au stator qui permet de créer le champ magnétique. Celui-ci est constitué de paires de spires conductrices supposées circulaires, positionnées face à face dans les deux plaques blanches du stator se faisant face (voir figure 4), alimentées par un courant d'intensité
Figure 6 - Vue en coupe des spires du stator
Q21. Rappeller et nommer les deux équations de Maxwell vérifiées par le champ
Q22. Prouver qu'en tout point
On donne sur la figure 7 l'allure des lignes de champ - issue d'une simulation - créées par cette paire de spires dans le plan (
On donne sur la figure 7 l'allure des lignes de champ - issue d'une simulation - créées par cette paire de spires dans le plan (
Figure 7 - Allure des lignes de champ créées par une paire de spires du stator
Q23. Reproduire rapidement sur votre copie cette figure avec quelques lignes de champ et représenter leur orientation en supposant
Q24. Pour cette simulation, on a pris
On donne sur la figure 8 une configuration simplifiée de la polarité de trois paires de spires du stator vues de dessus et d'un aimant permanent du train, en fonction de la position
Figure 8 - Étude de l'interaction train/stator
Q25. Identifier, parmi les profils d'énergie potentielle proposés sur la figure 8, lequel décrit le mieux l'interaction entre les spires et l'aimant représentés. Justifier précisément la réponse.
Q26. On rappelle que le lien entre la force
Le rôle du circuit de contrôle du moteur linéaire synchrone est alors de générer un champ d'énergie potentielle glissant qui va maintenir sur les aimants du train une force toujours dirigée vers la droite pendant la phase d'accélération.
Q27. Expliquer comment le système de contrôle de l'alimentation des différentes spires du stator peut permettre de réaliser ceci. Justifier la nécessité d'une rétroaction pour ce système, et préciser comment celle-ci peut être réalisée.
Les bobines des modules de lancement dégagent beaucoup d'énergie par effet Joule. Pour garantir un bon fonctionnement du dispositif, il est impératif que ces modules puissent se refroidir suffisamment entre deux départs. On s'intéresse ici à une méthode de refroidissement passive.
On modélise un module de lancement par une plaque en acier non magnétique dont les dimensions sont précisées sur la figure 9 et les propriétés (masse volumique
On modélise un module de lancement par une plaque en acier non magnétique dont les dimensions sont précisées sur la figure 9 et les propriétés (masse volumique
où
Figure 9 - Une plaque du stator
Q28. Montrer qu'on peut modéliser les échanges thermiques entre les cinq surfaces de la plaque en contact avec l'air et l'air par une résistance thermique
Q29. En effectuant un bilan thermique à la plaque, établir l'équation différentielle vérifiée par
Q30. Établir l'expression littérale de
Q31. Juste après un lancer, on a
Q31. Juste après un lancer, on a
II - Quelques mouvements
Une fois accéléré, le train aborde la première figure, représentée sur la figure 10 :
Figure 10 - La première figure : le «fer à cheval»
Q32. En vous appuyant sur les informations à votre disposition dans les données en fin d'énoncé, justifier clairement que le train peut a priori franchir cette première figure. On explicitera les hypothèses adoptées et les lois utilisées.
Juste après cette première figure, le train aborde un looping. On cherche à estimer à l'aide d'un modèle le temps mis par le train pour effectuer le looping. Pour cela, on va réduire l'étude du mouvement du train à celui de son centre de gravité, et on modélisera sa trajectoire par une trajectoire circulaire de rayon
Figure 11 - Paramétrage du mouvement pour le looping
Q33. Reproduire le schéma simplifié du looping sur votre copie, et y représenter en
Q34. Sur le schéma de la question précédente, représenter qualitativement le vecteur accélération de
Q35. Établir l'équation différentielle liant
Pour estimer le temps nécessaire à la réalisation complète du looping, on propose de résoudre cette équation différentielle par un programme python utilisant la fonction odeint de la bibliothèque scipy.integrate dont la spécification simplifiée est fournie à la fin du sujet.
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
R=15 #Rayon en m
g=9.81 #accélération de la pesanteur en m/s ^2
v0=27 #vitesse initiale en m/s
tabt=np.linspace(0,8,1000) #tableau des temps
def derivee(X,t):
return ...
theta0=0 #Angle initial
dthetaO=... #Vitesse angulaire initiale
res=odeint (...)
Q36. Recopier en les complétant sur votre copie les lignes à partir de la ligne 9 pour que le programme calcule et affecte à res la solution de l'équation différentielle déterminée à la question précédente.
En exécutant ce programme, on obtient le graphe suivant pour
Figure 12 - Courbe de
Q37. En déduire la valeur numérique du temps nécessaire pour effectuer le looping.
Partie D - L'arrivée
Lors de l'une des dernières figures, un appareil photographique numérique judicieusement placé prend des photos de chacune des voitures du train et de leurs passagers alors que le train est à grande vitesse. Les visiteurs peuvent ainsi acheter une photographie-souvenir de leur expérience dans le Blue Fire à la sortie.
Figure 13 - Un exemple de photo souvenir prise au cours du trajet
L'objectif de l'appareil utilisé sera modélisé par une simple lentille mince convergente, de distance focale
Pour décrire la situation, on se placera dans la configuration géométrique simplifiée suivante :
Pour décrire la situation, on se placera dans la configuration géométrique simplifiée suivante :
Figure 14 - Modèle simplifié de la prise d'une photographie
On notera en particulier que, même si le déplacement réel du train n'est pas orthogonal à l'axe optique de l'objectif, on fait ici cette hypothèse pour simplifier la description optique de la situation. Lors de la prise de la photographie, la vitesse de train est de
On rappelle la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince :
Figure 15 - Définitions
Q38. Quelles sont les conditions optiques permettant un stigmatisme approché? Énoncer ces conditions.
Q39. Déterminer avec deux chiffres significatifs la valeur numérique de la distance
Q39. Déterminer avec deux chiffres significatifs la valeur numérique de la distance
Q40. Déterminer la valeur numérique de
Q41. Montrer que si la durée d'exposition
Q41. Montrer que si la durée d'exposition
À la fin du trajet, le train doit être freiné. Pour éviter un freinage uniquement mécanique qui nécessiterait de fréquents remplacements des pièces en frottement, la solution adoptée par les concepteurs du Blue Fire est un freinage par induction.
Pour décrire ce freinage, on utilise la modélisation simplifiée suivante. Le mouvement du train sera étudié dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.
On note
Dans un premier temps, on s'intéresse à l'interaction entre un seul aimant du train et une seule spire, dont on négligera l'inductance propre. On note
On note
Dans un premier temps, on s'intéresse à l'interaction entre un seul aimant du train et une seule spire, dont on négligera l'inductance propre. On note
Figure 16 - Paramétrage du dispositif de freinage inductif. Les spires sont fixes, alors que les aimants liés au train créent des zones de champ
Q42. Décrire qualitativement mais précisément les phénomènes physiques qui se produisent permettant de freiner le train.
Q43. Après avoir précisé son orientation sur un schéma représentant uniquement le premier aimant du train et la spire avec lequel il interagit, déterminer l'expression de la force électromotrice induite dans la spire
Q44. Montrer que tant que
Q45. Montrer que pour
On considère maintenant l'interaction des
Q46. Quelle est alors la force totale
On considère maintenant l'interaction des
Q46. Quelle est alors la force totale
Q47. Que devient l'énergie cinétique perdue par le train lors de ce freinage? On justifiera la réponse à l'aide de l'établissement d'une relation entre différents termes énergétiques que l'on identifiera.
Q48. Justifier la nécessité d'un freinage mécanique d'appoint afin d'immobiliser complètement le train à la fin de son trajet.
Données utiles pour le traitement du sujet
Données partie A
- Constante des gaz parfaits :
-
- Définition du
: est l'énergie consommée par un dispositif de puissance 1 kW pendant une durée d'une heure. - Masses molaires :
- Données thermodynamiques à 298 K :
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0 | 0 | 0 |
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130,7 | 191,6 | 205,2 | 213,8 | 186,3 | 188,8 |
- Capacités thermiques moyennes à pression constante des différents gaz, calculées sur l'intervalle de température [298K, 3500 K ].
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29,2 | 30,1 | 32,3 | 45.4 | 44.5 | 37,6 |
- Loi de van't Hoff :
Données partie B
- Tension de saturation en sortie :
- Intensité maximale en sortie de l'ALI :
- Vitesse de balayage (ou slew-rate) :
Données parties C et D
- Accélération de la pesanteur :
- Permittivité magnétique du vide :
- Données sur le Blue Fire :
- Accélération moyenne du train pendant la phase d'accélération :
- Durée de la phase d'accélération :
- Hauteur maximale de la première figure («fer à cheval») par rapport à la zone de lancement :
- Rayon du looping
. - Masse totale d'un train et de ses passagers :
tonnes - Durée entre deux lancers successifs :
- Données sur une plaque du stator du moteur linéaire synchrone :
- Dimensions :
- Masse volumique de l'acier :
- Capacité thermique massique de l'acier :
- Coefficient de conducto-convection entre l'air et la plaque :
- Utilisation de la fonction odeint pour résoudre une équation différentielle d'ordre 2 d'une fonction inconnue
:
odeint(func,X0,t)
Paramètres d'entrée :
func : fonction de $X$ et du temps $t$ qui renvoie la dérivée $\dot{X}=[\dot{x}, \ddot{x}]$ du vecteur d'état $X=[x, \dot{x}]$ à l'instant $t$ sous forme d'une liste à 2 éléments.
X0 : vecteur condition initiale $X(t=0)=[x(t=0), \dot{x}(t=0)]$
t : tableau des temps pour lesquels la fonction doit calculer les valeurs de $X(t)$.
Valeur de retour :
Renvoie un tableau contenant les valeurs de $X(t)$