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Centrale Physique Chimie 2 TSI 2025

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Centrale TSI Centrale 2025 TSI Physique Chimie Physique Chimie 2025

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Flotteurs profileurs autonomes Argo

L'édition 2024-2025 du Vendée Globe, course au large autour du monde en solitaire sans escale, a été l'occasion de mettre en lumière les flotteurs Argo. Durant leur périple, 9 des 40 marins alignés au départ ont en effet largué un de ces flotteurs dont la mission consiste à réaliser des mesures dans l'océan sur une profondeur de l'ordre de 4000 m tout en se laissant dériver. Les résultats ainsi acquis in situ depuis un quart de siècle (et tous consultables librement en ligne) ont très significativement contribué à améliorer la connaissance des océans du globe et à suivre leur évolution dans le contexte des bouleversements climatiques en cours. L'Ifremer assure la mise en œuvre de ce réseau de flotteurs pour la partie française du programme.
Le problème comporte 4 parties indépendantes permettant d'aborder plusieurs aspects de ces flotteurs autonomes. Les données sont regroupées en fin d'énoncé.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Elles sont repérées par un soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la

Figure 1 - Flotteur Argo juste avant son déploiement en mer par l'Ifremer. (K. Balem/RREX/Ifremer)

résolution de ces questions.

Partie A - Flottabilité des flotteurs Argo

Pour sonder l'océan sur une profondeur aussi importante que 4000 m , les flotteurs Argo doivent être en mesure de se positionner avec précision sur la direction verticale de l'océan.

I - Modèle de l'océan isotherme compressible

On assimile dans un premier temps l'eau de l'océan à un liquide de température homogène et de masse volumique

uniforme baignant dans le champ de pesanteur terrestre

. On note

la pression en un point

de coordonnées (

) situé sous la surface libre de l'océan, elle-même en

. La pression atmosphérique est supposée uniforme et notée

. Le système de coordonnées est représenté en figure 2.

Figure 2

Q1. Démontrer que l'on a ici

.
Q2. En déduire la valeur numérique de la pression

à une profondeur de

.
L'eau de mer est en réalité un liquide compressible dont la masse volumique varie avec la pression suivant une relation de la forme

où

est la compressibilité isotherme de l'eau de mer. On considère en revanche toujours que la température de l'océan est uniforme.

Q3. Déterminer la nouvelle équation différentielle vérifiée par

et en déduire la nouvelle valeur

de la pression à une profondeur de

. Commenter.

Q4. Dans ce modèle, vérifier que la masse volumique de l'eau de mer à la profondeur

est

.
On conservera ce deuxième modèle de l'eau compressible dans la suite de cette partie.

II - Contrôle de la dérive en profondeur

Les flotteurs actuels se présentent sous la forme d'un cylindre de volume

, que l'on considérera indéformable mais sous lequel est positionnée une poche, appelée vessie. Un vérin permet de faire varier le volume

de cette poche en y déplaçant de l'huile incompressible depuis ou vers le cylindre. Ainsi, la masse totale

du flotteur reste constante, quelle que soit la configuration, mais son volume

est variable.

Q5. Quel doit-être la valeur de

pour que le flotteur soit à l'équilibre dans l'eau de mer à une profondeur

4000 m avec une vessie vide (

) ?

Q6. Calculer le volume

de la vessie nécessaire pour faire émerger

du volume

du flotteur lorsque celui-ci se trouve en surface.

Q7. Estimer l'énergie consommée par le vérin du flotteur pour remonter à la surface depuis une profondeur

4000 m .

Partie B - Conductimètre embarqué

Si différents modèles de flotteurs Argo coexistent aujourd'hui au sein d'une flotte composée de plusieurs milliers d'appareils autonomes, tous embarquent au moins un conductimètre permettant de mesurer, indirectement, la salinité de l'eau.

Q8. Rappeler le principe de fonctionnement des cellules conductimétriques usuellement utilisées en travaux pratiques de chimie. Pourquoi ne sont-elles pas adaptées à une utilisation à bord d'un flotteur autonome?

Les flotteurs Argo sont ainsi équipés de conductimètres inductifs, dont le principe est schématisé en figure 3. Ce capteur est composé de deux bobines toroïdales placées côte à côte. La première bobine, appelée bobine d'excitation, est alimentée par une tension sinusoïdale

. Sa résistance interne est négligeable et son inductance propre est

. Elle se comporte comme le primaire d'un transformateur dont le circuit secondaire est l'eau qui baigne l'ensemble et que l'on peut assimiler à une boucle conductrice de résistance

, proportionnelle à l'inverse de la conductivité

de l'eau. Cette boucle se comporte à son tour comme le circuit primaire d'un transformateur dont le secondaire est la seconde bobine, appelée bobine de mesure, de résistance interne négligeable et d'inductance propre

. D'un point de vue électrique, l'ensemble est donc modélisable par le circuit représenté en figure 4 , où figurent également le circuit d'alimentation et celui, modélisé par une résistance

Figure 3 - Schéma d'un conductimètre inductif

permettant la mesure de la tension

en sortie.

Figure 4 - Schéma électrique équivalent du conductimètre

I - Étude du circuit d'alimentation

On considère dans un premier temps le circuit d'alimentation encadré en tirets sur la partie gauche du circuit de la figure 4. L'ALI est supposé idéal et en régime linéaire. Ses tensions de saturation sont

. On suppose également que ses limites de saturation en courant ne sont jamais atteintes.

Q9. Rappeler en quoi consiste le modèle de l'ALI idéal.
Q10. En appliquant une loi des nœuds au point A , montrer que la tension

repérée sur le schéma de la figure 4 vérifie l'équation différentielle

où l'on précisera l'expression de

.
Q11. Démontrer par ailleurs que

où l'on exprimera

en fonction de

.
Q12. En déduire une condition sur

, puis sur

pour que le système d'alimentation soit oscillant de façon sinusoïdale. On exprimera la fréquence

de ces oscillations en fonction de

II - Préliminaire : inductance propre et inductance mutuelle entre deux circuits

On cherche dans cette sous-partie à établir quelques résultats utiles par la suite en considérant deux solénoïdes cylindriques coaxiaux

, de même longueur

, de rayons respectifs

, comportant respectivement

spires.

sont parcourus par des courants notés respectivement

et orientés comme indiqué en figure 5. On admet que les effets de bord sont négligeables, ce qui revient à considérer que

se comportent comme des solénoïdes infinis. L'ensemble baigne dans l'air assimilé à du vide de perméabilité magnétique

Figure 5 - Schéma en coupe des solénoïdes coaxiaux

On admet que le champ magnétique crée à l'intérieur d'un solénoïde parcouru par un courant

s'écrit

avec

le nombre de spires par unité de longueur, et que le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde.

Q13. Rappeler la définition générale de l'inductance propre

d'un circuit et de l'inductance mutuelle

entre deux circuits.

Q14. Établir l'expression des inductances propres

des solénoïdes

en fonction de

Q15. En admettant qu'il n'y a aucune forme de perte magnétique, établir l'expression de l'inductance mutuelle

entre les solénoїdes

Q16. Montrer que l'on a

en donnant l'expression de

en fonction de

.
On considère pour la suite le cas où

pour lequel

.
Q17. Montrer que

.
Les deux solénoïdes

forment le primaire et le secondaire d'un transformateur. On note

la tension aux bornes du primaire et

la tension aux bornes du secondaire. Les deux tensions sont orientées en convention récepteur.

Q18. En écrivant les équations électriques pour le primaire et le secondaire, montrer que

On admet que les relations démontrées dans cette première sous-partie sont applicables à tous les transformateurs rencontrés par la suite.

III - Étude de la partie terminale du circuit de mesure

On considère ici la partie terminale du circuit représentée en figure 6.

Figure 6 - Schéma électrique de la partie terminale du circuit

Q19. Écrire, en notation complexe, l'expression de

en fonction de

.
Q20. En déduire la relation

en donnant l'expression de

en fonction de

.
Q21. En utilisant les résultats établis dans le II, montrer qu'on peut réécrire

IV - Étude du circuit de mesure complet

D'après la relation

établie précédemment, le circuit de mesure complet est équivalent au schéma représenté figure 7 dans lequel

Figure 7 - Schéma électrique équivalent du circuit de mesure complet

Q22. Déterminer la relation entre

.
Q23. Montrer à l'aide des résultats précédents que

Q24. Dans la limite où

tend vers 0 , montrer que l'intensité

tend vers

Commenter.

V - Étude du convertisseur courant-tension

Pour mesurer le courant

de façon simple, on propose de remplacer la résistance

par le circuit schématisé en figure 8, dans lequel l'ALI est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire.

Figure 8 - Schéma d'un convertisseur courant-tension

Q25. Montrer que le montage permet une conversion du courant

en une tension

.
Q26. Commenter l'intérêt d'utiliser ce montage, en calculant notamment sa résistance d'entrée.
Q27. Lorsqu'il est intégré dans le circuit de la figure 4, que vaut le courant noté

sur le schéma de la figure 8 ? D'où vient-il?

VI - Étalonnage du capteur

Pour étalonner le conductimètre ainsi formé, on le plonge dans deux solutions :

la première est réalisée en saturant de l'eau distillée en sulfate de calcium , à pH neutre. On mesure alors une amplitude de égale à ;
la seconde est réalisée en saturant de l'eau distillée en permanganate de potassium , à pH neutre. On mesure alors une amplitude de égale à .

Q28. Sachant que toutes les mesures ont été réalisées à

, déterminer la constante de cellule

définie par

, où

est l'amplitude de la tension

la conductivité de la solution. On commentera le résultat obtenu, sachant que la conductivité de l'eau de mer ne dépasse pas

Partie C - Alimentation électrique des sondes

Les sondes Argo étant complètement autonomes, elles embarquent des batteries pour assurer leurs besoins en énergie. Toutefois, perdues dans l'immensité de l'océan, il n'est pas envisageable de les récupérer régulièrement pour les recharger. Ainsi, la durée de vie d'un flotteur est directement liée à la capacité des batteries qu'il embarque.
On s'intéresse ici à un flotteur Argo Deep SOLO dont chaque cycle de mesure dure 10 jours et consomme une énergie

. Ces flotteurs sont alimentés par des batteries au lithium, dont l'étude fait l'objet de cette partie.

I - Le lithium et ses propriétés

Sur Terre, l'isotope le plus abondant (92,5 %) est

.
Q29. Rappeler la définition du terme isotope.
Q30. Donner la composition du noyau d'un atome de lithium

.
Q31. Sachant qu'il n'y a que deux isotopes naturels du lithium, et compte tenu de la masse molaire du lithium naturel donnée en fin d'énoncé, déterminer le symbole atomique du second isotope.

Q32. Quelle est la position de l'élément lithium dans la classification périodique des éléments? Nommer la famille d'éléments chimique à laquelle il appartient et dessiner son schéma de Lewis.

À température ambiante, le lithium cristallise dans un système cubique centré de paramètre de maille

, représenté en figure 9 , où chaque boule noire correspond à l'emplacement d'un atome de lithium.

Q33. Calculer la population de cette maille.
Q34. En déduire l'expression puis la valeur de la masse volumique

du lithium solide. Commenter.

Figure 9 - Maille du système cubique centré

II - La pile au lithium-chlorure de thionyle

Les batteries des flotteurs Argo SOLO II sont des batteries au lithium-chlorure de thionyle : une des électrodes est constituée de

et l'autre est constituée de carbone poreux rempli d'une solution de chlorure de thionyle

concentrée à

en ions

. Cette solution, qui joue à la fois les rôles de solvant et d'électrolyte, est engagée dans la demi-équation électronique

Q35. Pourquoi ne peut-on pas utiliser pour solvant une solution aqueuse d'ions

Q36. La molécule de chlorure de thionyle dont le schéma de Lewis est donné en figure 10 est-elle polaire? Commenter vis-à-vis de la solubilité des ions

Q37. Déterminer l'équation de fonctionnement de la pile. L'électrode de lithium joue-t-elle le rôle de cathode ou d'anode?

Figure 10 - Schéma de Lewis du chlorure de thionyle

Les données thermodynamiques relatives aux espèces chimiques mises en jeu sont données en fin d'énoncé. On se place dans l'approximation d'Ellingham.

Q38. Déterminer les enthalpies standard de formation du lithium et du soufre à l'état solide.
Q39. À partir des données fournies en fin d'énoncé, calculer l'enthalpie libre standard de réaction

.
Q40. En déduire la force électromotrice standard

de la pile au lithium-chlorure de thionyle à

.
La température de l'eau dans les océans varie sur une plage d'environ

.
Q41. Calculer la variation

de la force électromotrice standard de la pile qui en découle. Commenter.
Q42. Dans l'hypothèse où la pile fonctionne de façon réversible à

, déterminer la masse minimale de lithium solide que doit contenir la pile neuve pour assurer le fonctionnement d'un flotteur Argo Deep SOLO pendant 5 ans. Commenter.

Partie D - Localisation par le système Argos

Les flotteurs de la flotte Argo sont suivis et localisés par le système Argos. Créé en 1978 grâce à une collaboration franco-américaine, ce système de localisation et de collecte de données repose sur une liaison radio entre des balises et un ou plusieurs GPS. En 2024, quinze nano-satellites de la nouvelle constellation Kinéis ont été placés en orbite pour assurer la continuité du système Argos et son plus large déploiement.

I - Constellation Kinéis

Les nano-satellites de la constellation Kinéis ont une masse

et sont placés sur une orbite terrestre circulaire à une altitude

. On se place dans le référentiel géocentrique supposé galiléen et on suppose que la Terre est sphérique, homogène et sans rotation perceptible sur les durées mises en jeu ici.

Q43. Exprimer la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un nano-satellite. En déduire l'expression de la vitesse

des satellites de Kinéis dans le référentiel géocentrique. Calculer

Q44. Vérifier que dans le référentiel géocentrique, la vitesse des satellites est nettement supérieure à celle d'un flotteur.

On admettra pour la suite que le flotteur peut être considéré comme fixe dans le référentiel géocentrique sur la durée du survol par le nano-satellite.

II - Survol d'un flotteur par un satellite

On considère un flotteur Argo en un point

à la surface de l'océan. On s'intéresse ici au cas où un satellite, repéré par un point matériel

, effectue un survol du flotteur en passant par sa verticale.

Figure 11 - Schéma du survol d'un flotteur par un satellite (Le schéma n'est pas à l'échelle.)

Figure 12 - Tracé de

en fonction du temps

Le flotteur ne peut communiquer avec le satellite que lorsque celui-ci est au-dessus de sa ligne d'horizon, représentée en pointillés sur la figure 11. Le script python fourni en figure 13 permet le calcul de la vitesse radiale relative

du satellite par rapport au flotteur, en choisissant comme référence du temps l'instant

où le satellite apparaît sur l'horizon.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Constantes
RT = 6371e3 # Rayon de la Terre en m
hs = 650e3 # Altitude du satellite en m
vs = 7530 # Vitesse du satellite (en m/s)
N = 500 # Nombre d'echantillons
x0, y0 = 0, RT # Position fixe du flotteur
theta_h = #### Champ a completer - 1 ##### # Angle theta_h (en rad)
omega = #### Champ a completer - 2 ##### # Vitesse angulaire (en rad/s)
T = #### Champ a completer - 3 ##### # Duree de la communication (en s)
# Echantillonnage temporel
t = np.linspace(O, T, N)
# Positions du satellite
x_sat = (RT + hs) * np.sin(theta_h - omega * t)
y_sat = (RT + hs) * np.cos(theta_h - omega * t)
# Calcul de la vitesse relative
distances = #### Champ a completer - 4 #####
# Calcul de la vitesse relative
tder = (t[:-1] + t[1:]) / 2
vr = np.diff(distances) / np.diff(t)
# Trace du graphique
plt.plot(tder, vr / 1000)
plt.xlim([0,T])
plt.xlabel('Temps (s)')
plt.ylabel('Vitesse relative vr (km/s)')
plt.grid()
plt.show()

Figure 13 - Script python à compléter

Q45. Indiquer comment compléter les champs numérotés de 1 à 4 , lignes

et 23 , permettant de calculer l'angle

formé entre le vecteur vitesse du satellite et l'horizon à

, la vitesse angulaire du satellite dans le référentiel géocentrique, la durée pendant laquelle le satellite est au-dessus de l'horizon, ainsi que les distances

entre le satellite et le flotteur.

Q46. Une fois complété, le script renvoie le tracé proposé en figure 12. Commenter.

III - Communication et localisation du flotteur

Lors de la communication par onde radio entre le flotteur et le satellite, le flotteur se comporte comme une source immobile et le satellite comme un récepteur en mouvement à la vitesse

par rapport au flotteur. On restreint l'étude à une dimension sur la direction (

) et au cas où le satellite

est déjà passé à la verticale du flotteur

. La vitesse du satellite par rapport à

est donc

Figure 14 - Schéma du déplacement à 1 dimension du satellite

par rapport au flotteur

On suppose que le champ électrique de l'onde électromagnétique émise par le flotteur en direction du satellite peut s'écrire

où

est la vitesse de la lumière dans le vide,

la pulsation de l'onde et

un réel. L'onde est assimilable à une onde se propageant dans le vide.

Q47. Montrer que le champ électrique

reçu par l'antenne du satellite situé en

a un pulsation

différente de

que l'on exprimera en fonction de

. Comment appelle-t-on cet effet?

Lors du survol d'un océan, un satellite Kinéis reçoit d'un flotteur en mer un signal dont la fréquence

varie comme représenté en figure 15.

Figure 15 - Évolution de la fréquence d'un signal reçu par un satellite Kinéis, avec

Q48. Que peut-on déduire de cet enregistrement?

Données

Données numériques partie A

Accélération de la pesanteur terrestre au niveau du sol Masse volumique de l'eau de mer en surface Pression atmosphérique

Données numériques partie B

.
Produit ionique de l'eau

Produit de solubilité de

Loi de Kohlrausch

avec

la conductivité de la solution et

la conductivité molaire ionique de l'ion d'indice

de concentration

.
Conductivités molaires ioniques


	16,0	6,13	11,9	7,35	19,8	35,0

Données numériques partie C

Constante d'Avogadro

Constante de Faraday

Masse molaire des nucléons

Extrait du tableau périodique

Élément	Li	O	S	Cl
Numéro atomique	3	8	16	17
Masse molaire	6,93	16,0	32,1	35,5
Électronégativité échelle de Pauling	0,98	3,44	2,58	3,16

Données thermodynamiques à



221,8	29,1	32,1	248,2	59,31

Données numériques partie D

Rayon de la Terre
Masse de la Terre
Constante gravitationnelle
Période de rotation sidérale de la Terre
Vitesse de la lumière dans le vide