Centrale Physique Chimie MP 2009

Calculatrices autorisées.

Données thermodynamiques à 298 K :

Constante de gravitation:
Constante de Stefan :

Numéro atomique:

Masse molaire :

Nombre d'Avogadro :
Constante des gaz parfaits :
Constante d'équilibre de l'auto- protolyse de l'eau à 298 K :

Tous les gaz sont considérés comme parfaits.
Notations : : vecteur unitaire dirigé de vers .
En 2005, la mission Cassini-Huygens a permis d'obtenir de nouvelles connaissances sur le système planétaire de Saturne. La sonde Huygens a traversé l'atmosphère de Titan, un des satellites de Saturne.

I.A - Saturne est composée principalement d'éléments légers composant la nébuleuse primordiale, l'hydrogène et l'hélium, sous forme liquide. On modélise, ici et dans toute la suite du problème, cette planète comme une sphère de rayon moyen .
I.A.1) Calculer numériquement la masse volumique moyenne de Saturne. Commentaire.
I.A.2) En supposant la masse volumique uniforme et le référentiel lié à Saturne galiléen, exprimer le champ de pesanteur à une distance du centre de Saturne, en fonction de et .
Application numerique : calculer le champ de pesanteur à la surface de Saturne.
I.A.3)
a) On admet que le champ de pression à l'intérieur de Saturne suit la loi de l'hydrostatique et que la pression à la surface de Saturne est nulle. Établir l'expression du champ de pression pour .
b) Sous une pression supérieure à , l'hydrogène existe sous une phase métallique inconnue sur Terre. À quelle distance du centre l'hydrogène est-il dans cet état?
I.A.4) Saturne reçoit de la part du Soleil une puissance lumineuse. On admet que la surface du Soleil se comporte comme un corps noir rayonnant à la température de .
a) Exprimer la puissance totale émise par le Soleil, , en fonction de et , constante de Stefan. Application numérique.
b) Saturne absorbe une fraction a de la puissance interceptée, exprimer la puissance absorbée par Saturne en fonction de et .
c) Saturne rayonne comme un corps noir de température . En supposant qu'il y a équilibre thermique de Saturne, établir l'expression de la température en fonction de et .
Application numerique : on donne . Calculer . La température de la surface est de 130 K . Commenter.

Pour expliquer l'origine de la puissance émise ainsi que la rareté de l'hélium dans les couches supérieures de Saturne, des physiciens ont proposé le modèle suivant : l'hélium est miscible dans l'hydrogène liquide mais insoluble dans l'hydrogène métallique liquide. Il se forme alors des gouttelettes d'hélium liquide plus denses que l'hydrogène. Ces gouttelettes tombent vers le centre de Saturne sous forme d'une «pluie d'hélium».
On note et les masses volumiques de l'hélium et de l'hydrogène métallique. On a .
I.B.1) Soit la masse d'une gouttelette d'hélium et sa vitesse dans le référentiel de Saturne, supposé galiléen. La résultante des forces de frottement sur la gouttelette est avec constante positive. Faire le bilan des forces qui s'appliquent sur la gouttelette au sein de l'hydrogène métallique liquide dans le champ de pesanteur . Écrire le théorème de la résultante cinétique appliqué à cette gouttelette.
I.B.2) Soit le nombre de gouttelettes d'hélium par unité de volume. Le vecteur densité de courant d'hélium est défini par: où est la masse d'hélium traversant l'élément de surface durant (figure 1).
a) Montrer que .

b) La pluie d'hélium descendante est accompagnée d'un flux d'hydrogène montant dont le vecteur densité de courant est

En régime permanent, montrer que le vecteur densité de courant massique s'écrit sous la forme et exprimer en fonction de , et . Quelles sont les dimensions de ?
c) Donner une relation analogue en électromagnétisme en précisant les grandeurs.
I.B.3)
a) Les forces de frottement dissipent de l'énergie mécanique. Exprimer la puissance de la force de frottement sur une gouttelette en fonction de . Exprimer la puissance volumique de ces forces en fonction de et puis en fonction de et
b) Donner une analogie de ces relations en électromagnétisme en précisant les grandeurs analogues.
c) La pluie d'hélium a lieu dans les couches profondes comprises entre les sphères de rayons et . Exprimer la puissance totale dissipée par cette pluie en fonction de et . Quelle doit être la valeur numérique de pour que soit égal à 130 K ?

Titan, la plus grosse lune de Saturne, est le seul satellite du système solaire à posséder une atmosphère dense. Dans certaine théories sur l'histoire de Titan, son atmosphère primitive, riche en ammoniac ( ) et en méthane ( ), se trouvait initialement à une température d'environ , puis a connu un lent refroidissement. L'irradiation de cette atmosphère primitive par les solaires et les rayons cosmiques aurait rapidement dissocié l'ammoniac. Dans les basses couches, moins irradiées, l'ammoniac est resté en équilibre chimique avec du dihydrogène et du diazote. On se propose d'étudier quelques aspects de cet équilibre gazeux, en supposant une pression constante bar, sauf en II.A.6.

On étudie la réaction de dissociation de l'ammoniac en dihydrogène et diazote :

II.A.1) Déterminer la valeur de l'enthalpie molaire standard de réaction à . La réaction est-elle endothermique ou exothermique?
II.A.2) Lors du refroidissement de l'atmosphère de Titan, dans quel sens l'équilibre se déplace-t-il?
II.A.3) Déterminer la valeur de l'entropie standard de réaction 298 K : . Justifier simplement son signe.
II.A.4) On définit la température d'inversion par . Calculer dans le cadre de l'approximation d'Ellingham. Que peut-on dire de l'équilibre pour et ?
II.A.5) Au tout début du refroidissement de l'atmosphère de Titan, on suppose que la température vaut 500 K et qu'il n'y a que de l'ammoniac dans la zone d'étude. L'équilibre chimique s'établit à cette température, puis se maintient pendant le refroidissement, supposé très lent.
a) L'équilibre étant atteint, établir une équation liant la constante d'équilibre de la réaction et le taux de dissociation de l'ammoniac, défini par :

b) Calculer à 500 K , puis à 298 K . Comparer aux résultats des questions II.A. 2 et II.A.4. D'après ce modèle, l'ammoniac est-il préservé au cours du refroidissement dans la zone étudiée?
II.A.6) Actuellement on pense que l'ammoniac s'est dissocié essentiellement dans la zone étudiée ci-dessus. En supposant qu'une évolution de la pression est responsable de cela, dans quel sens s'est-elle produite?

Décomposition du méthane: la dissociation du méthane est la principale source de radicaux dans l'atmosphère de Titan. Suivant l'altitude considérée, on peut observer différents types de mécanismes.

Autour de 250 km d'altitude, les photons sont principalement absorbés par l'acétylène . Il se produit alors le mécanisme suivant:

où la température est exprimée en Kelvin.
II.B.1) Calculer l'énergie d'activation de la seconde étape du mécanisme.
II.B.2) Quelle est l'équation-bilan de la réaction correspondant à ce mécanisme?
II.B.3) On cherche à exprimer [ ] en fonction du temps. Pour cela on part d'une atmosphère principalement composée de diazote (pression totale , température ). L'atmosphère contient de méthane et d'acétylène (en mol). La seconde étape du mécanisme est suffisamment rapide par rapport à la première pour que l'on puisse considérer la concentration en acétylène comme constante.
a) Montrer que la vitesse de disparition du méthane ne dépend que de et de .
b) Calculer le temps en années qu'il faut pour observer la disparition du méthane.

À des altitudes supérieures à 350 km , la photolyse du méthane est directe et selon trois voies possibles :

II.C.1) Déterminer l'expression de la vitesse de disparition du méthane.
II.C.2) En déduire l'expression de la concentration en méthane en fonction de temps (On notera la concentration initiale en méthane).
II.C.3) Calculer le temps en années au bout duquel du méthane est dissocié.
II.C.4) L'âge de Titan est d'environ ans. Qu'en déduisez-vous quant à la présence de méthane dans l'atmosphère de Titan de son origine à nos jours?

Une des sources possibles de méthane sur Titan correspondrait à la présence d'un réservoir de clathrates de méthane (structure de molécules d'eau formant des cages dans lesquelles des molécules de méthane sont piégées) dans sa croûte. Il semblerait en effet que Titan possède un épais manteau de glace. Une variété allotropique de la glace est la structure dite «diamant»: les atomes d'oxygène occupent un réseau cubique face centrée d'arête ainsi que la moitié des sites tétraédriques; les atomes d'hydrogène pointent vers les sommets des cubes d'arête auxquels ils sont liés. On note la plus courte distance entre un atome d'hydrogène et un atome d'oxygène ( ) et la plus longue. Le paramètre de la maille vaut 637 pm .
II.D.1) Donner le schéma de Lewis d'une molécule d'eau ainsi que sa géométrie (vous préciserez l'angle entre les deux liaisons ).
II.D.2) Dans un réseau cubique face centrée, où se situent les sites tétraédriques?
II.D.3) Représenter un huitième de maille (cube d'arête ), dans le cas où le site tétraédrique est occupé.
II.D.4) Combien de molécules d'eau comporte une maille?
II.D.5) Déterminer la valeur de la distance .
II.D.6) Déterminer la masse volumique de la glace. Commentaire.

Pendant le refroidissement de Titan, des mélanges homogènes eau-ammoniac liquides ont formé de véritables océans, qui sont demeurés au contact de l'atmosphère pendant près de 100 millions d'années, sous une température de 20 à . Le refroidissement se poursuivant, une épaisse couche de glace de plusieurs kilomètres d'épaisseur a fini par se former. Actuellement, la température à la surface de Titan est de l'ordre de , mais il est probable que les océans eau-ammoniac perdurent sous la glace, à des températures plus élevées.
Les conditions passées - et même actuelles dans certaines zones - ne seraient pas totalement défavorables à l'apparition ou au maintien de micro-organismes vivants, bien que cette hypothèse n'ait pu être validée ou infirmée pour l'instant. Dans toute cette partie, on considérera que la pression est constante et égale à 1 bar.
II.E.1) Donner le schéma de Lewis de la molécule d'ammoniac, ainsi que sa géométrie.
II.E.2) L'ammoniac est un ampholyte. Rappeler le sens de ce terme et écrire les équations d'échanges de protons de l'ammoniac avec ses espèces conjugués (ion ammonium et ion amidure ).
II.E.3) En déduire l'équation de la réaction d'autoprotolyse de l'ammoniac.
II.E.4)
a) On donne (figure 2) le diagramme binaire liquide-vapeur tracé sous bar.
Reproduire grossièrement le graphe sur votre copie et positionner les différents domaines d'existence/coexistence et le nom des courbes séparant ces domaines. Quelles sont les températures normales d'ébullition de pur et pure?
b) Lors du refroidissement de Titan avant formation de la glace, on considère une zone de l'océan eau-ammoniac à l'équilibre avec sa vapeur, à . Donner la composition des deux phases dans ces conditions.
c) On désire reconstituer en laboratoire la phase liquide envisagée à la question précédente.

Pour ce faire, calculer le volume minimum d'ammoniac à mettre au contact d'un litre d'eau liquide, l'ensemble étant maintenu à . Calculer la masse du mélange liquide ainsi obtenu. Commenter la valeur de et proposer un argument microscopique pour expliquer cette hydrosolubilité de . Pour cette question, on prendra la masse volumique de l'eau liquide égale à .
d) Pour simuler des conditions plus anciennes dans l'histoire de Titan, on porte la phase liquide de l'échantillon précédent à . Déterminer la masse de liquide et de vapeur obtenues, ainsi que leur composition en eau et en ammoniac. Comparer aux résultats précédents.

e) Sous quelle température ver-rait-on cet échantillon se vaporiser entièrement?
II.E.5) On pense que dans certaines zones des océans de Titan, l'eau a pu être majoritaire, induisant des conditions de pH plus modérées qu'ailleurs. Envisageons l'existence d'un tel milieu affichant une concentration en valant , avant toute évolution chimique, sous une température de . À cette température, les des couples et sont respectivement 9,2 et 23 .
a) Établir le diagramme de prédominance faisant intervenir et ses espèces conjuguées (ou l'une d'elles), dans le domaine de pH allant de 0 à 14 .
b) Que peut-on dire de la base conjuguée de dans l'eau?
c) Proposer une réaction prépondérante traduisant le comportement de dans la solution. Calculer sa constante d'équilibre.
d) En supposant que la réaction est peu avancée à l'état final, calculer le de la solution. L'hypothèse était-elle satisfaisante ? Sachant que sur Terre dans ces conditions de pression et de température, on rencontre des micro-organis-
mes (bactéries) pour , des formes de vie analogues auraient-elles survécu dans la zone océanique de Titan envisagée ici?

Les anneaux de Saturne sont formés de fragments de roche et de glace d'eau (les «particules» de l'anneau) de 1 à 10 cm , tournant dans le plan équatorial de la planète sur des orbites circulaires. Ils forment des bandes peu denses, très fines (quelques centaines de mètres!) et larges (de l'ordre de 20000 km ). L'origine des anneaux est due soit à la fragmentation d'un satellite naturel, soit à un nuage de particules qui n'ont pas pu s'agglomérer.

On étudie dans cette partie l'évolution d'un nuage de particules initialement concentrées en un anneau fin et étendu. On se place dans le référentiel saturnocentrique, supposé galiléen. On négligera l'attraction gravitationnelle des particules entre elles par rapport à l'attraction de Saturne.

La masse de Saturne est supposée répartie de façon sphérique autour de son centre . Initialement, le nuage est dense, de masse . Son centre de masse gravite autour de Saturne sur une orbite elliptique, d'excentricité e .Les particules décrivent des mouvements individuels complexes (rotation propre de chaque particule dans son référentiel barycentrique, trajectoires influencées par des chocs...), dont l'effet moyen est un mouvement «collectif» de révolution autour de la planète. Le moment cinétique en dû à ce mouvement étudié dans le référentiel saturnocentrique est appelé moment cinétique orbital. Il est noté Oorb. Sa norme est supposée constante pour les mouvements étudiés. L'extension du nuage est supposée faible devant .
III.A.1) On note l'énergie cinétique barycentrique du nuage.

Donner l'expression de l'énergie mécanique du nuage en fonction de , et .
III.A.2) L'équation polaire de la trajectoire de est :
où est l'angle polaire de la trajectoire et une constante.
En déduire l'expression de en fonction de et .
III.A.3) Le système {Saturne + nuage} est isolé, tandis que les chocs des particules du nuage entre elles provoquent une augmentation de l'énergie cinétique
barycentrique. En déduire que la trajectoire de se circularise au cours du temps.

La trajectoire du nuage est à présent circulaire mais le plan du cercle, contenant le point , a une orientation quelconque. Pour expliquer que les anneaux évoluent dans le plan équatorial de Saturne, on tient compte de l'aplatissement de la planète.
III.B.1) Expliquer qualitativement, mais précisément, pourquoi la rotation propre de Saturne est la cause de son aplatissement aux pôles.
III.B.2) À cause de cet aplatissement, le champ gravitationnel de Saturne n'est plus exactement un champ newtonien. On modélise la répartition de la masse de Saturne par une sphère contenant deux cavités sphériques vides (Figure 3). Montrer que cette répartition crée le même

champ gravitationnel que la superposition des trois sphères ci-contre :

où une constante positive dont on donnera l'expression en fonction de , et .
c) Application numerique : le rayon équatorial de Saturne ( ) est supérieur de au rayon polaire (b). Calculer la valeur de .
III.B.4) Quelle est l'expression de l'énergie mécanique du nuage, en fonction de et ?
III.B.5) Les conditions d'évolution sont les mêmes que dans la question III.A.3. Montrer qu'alors la trajectoire se rapproche du plan équatorial de Saturne.

Le nuage est encore compact et peu étendu. Son centre de masse suit une trajectoire circulaire dans le plan équatorial de Saturne. Cette planète exerce une force newtonienne sur le nuage. Le nuage est d'abord concentré en une masse quasi ponctuelle. Les collisions entre les particules vont étaler ce nuage tout en conservant son moment cinétique orbital . On considère que les particules du nuage ont formé un anneau très fin homogène, de rayon .
III.C.1) Exprimer le moment cinétique orbital en et son énergie mécanique de l'anneau en fonction de et .
III.C.2) L'anneau fin va s'étaler en un anneau plat, dans le plan équatorial du fait de la dissipation de son énergie mécanique par le biais des collisions entre particules. On suppose que cet anneau plat est homogène, de masse surfacique , et qu'il s'étend de la distance à de . Exprimer le champ des vitesses pour . En déduire l'expression du moment cinétique en et de l'énergie mécanique ' de l'anneau en fonction de et .
III.C.3)
a) Montrer que la conservation du moment cinétique de l'anneau implique que et sont liés. Exprimer cette relation sous la forme

b) Exprimer la variation relative d'énergie mécanique

On donne le tracé de en fonction de . Compléter le tableau ci-dessous et conclure.

c) Donner la largeur relative
de l'anneau lorsque de l'énergie initiale a été dissipée.
-••FIN •••