L'inducteur (stator) en fer, fixe, comporte un bobinage parcouru par un courant électrique continu qui permet de créer un champ magnétique permanent. L'inducteur et la carcasse en fer de la machine canalisent les lignes du champ magnétique vers ses pôles (au nombre de quatre pour cette machine).

Filière PSI

Ils constituent un bloc thermique continu, noté «bloc 3 », de masse

.
La surface extérieure de la carcasse est supposée cylindrique de rayon

, de longueur

, de surface totale notée

(partie latérale et les deux parties aux extrémités). La surface active de l'ensemble des quatre pôles, notée

, en contact avec l'entrefer constitué par la couche d'air (figure 1), est assimilée à la surface latérale d'un cylindre de rayon

, de longueur

.
Le bobinage de l'inducteur est constitué d'un fil de cuivre de résistance totale

. Cette résistance dépend de la température selon la loi

où

est la température en

son coefficient thermique :

L'induit (rotor) en fer est en rotation. Il canalise également le champ magnétique crée par l'inducteur.
L'induit est assimilé à un cylindre plein homogène de rayon , de longueur

Figure 1

, il constitue un bloc thermique continu, noté «bloc 1 » dont la surface latérale est notée

.
Le bobinage de l'induit (circuit électrique de puissance de la machine), est constitué d'un fil de cuivre de résistance totale

. Cette résistance dépend de la température selon la loi

avec

L'entrefer : espace entre la surface totale des pôles de l'inducteur et la surface latérale de l'induit, est constitué d'une couche d'air noté «vol. 2 », sans mouvement, entre les rayons et d'épaisseur , de longueur .
La machine n'est pas ventilée, on négligera les échanges thermiques par convection à l'intérieur de la machine.
La carcasse a une surface extérieure définie plus haut. Cette surface est fermée, sa température est uniforme. Elle est en contact thermique avec l'air extérieur qui est à une température constante et uniforme . Cette surface échange avec l'extérieur, par convection, la puissance thermique , avec , ce coefficient est supposé constant.
La machine à courant continu, fonctionnant en moteur, présente les caractéristiques suivantes (fig. 2) :
Les couples de frottement (solide ou fluide) sont négligés.
Le coefficient (constante de couple magnétique ou de force électromotrice (f.e.m.) de la

Figure 2 Bobine (de lissage) :
Inductance

Résistance

machine), pour
un courant du circuit de l'inducteur

, est

(ou

).
L'inductance du bobinage de l'induit est

Le moment d'inertie d'un cylindre plein, homogène, de masse et de rayon , par rapport à son axe de symétrie de révolution, est : .

I.A - Étude d'échanges thermiques en régime stationnaire

Afin de fixer les ordres de grandeur, on étudie un modèle thermique rudimentaire de la machine précédente où les éléments «bloc 1 », «vol. 2 » et «bloc 3 » deviennent: «bloc

»

, «vol.

» et «bloc

» et où les surfaces d'échanges thermiques

sont remplacées par des surfaces ayant toutes la même aire

.
L'étude porte sur une enceinte isolée thermiquement sur ses parois latérales (représentées hachurées), de section uniforme

sur toute sa longueur. Des données physiques utiles sont précisées dans l'introduction de cette première partie. Seuls les régimes stationnaires sont considérés dans les parties I.A et I.B.
I.A.1) L'enceinte est remplie d'air (vol. 2*). Sa section d'entrée en

est à la température

, elle reçoit une puissance thermique

, sa longueur est

(fig. 3).
a) Exprimer simplement la puissance thermique

sortante en

, justifier la réponse.
b) Déterminer la température

de la section en

entre 0 et

dans l'enceinte (en fonction de

). Exprimer la température

, dans la section en

, en fonction des données.
c) Déterminer, en fonction des données, la résistance thermique

. Application numérique.

I.A.2) L'enceinte comporte de l'air (vol. 2* précédent). Sa section d'entrée en

est à la température

, elle reçoit une puissance thermique entrante

. On ajoute dans l'enceinte le bloc

en fer, de longueur

. La surface de sortie en

transfère vers l'extérieur une puissance

; sa température est

. On a

(fig. 4).
a) Exprimer

en fonction des données. Déterminer la résistance thermique

du bloc 3*. Application numérique.
b) Exprimer

en fonction des résistances thermiques. Application numérique.
c) Pourquoi peut-on supposer que la température du bloc

est pratiquement uniforme?
I.A.3) L'enceinte comporte de l'air (vol. 2*), le bloc 3* en fer est toujours présent et on ajoute un nouveau bloc 1* en fer de longueur

qui est du même ordre de grandeur que

. La section d'entrée en

est thermiquement isolée (calorifugée). Dans le bloc 1* une source thermique crée une puissance

. Dans le bloc

une autre source thermique crée une puissance

(fig. 5).

a) On suppose que la température est continue en

et en

. Justifier cette hypothèse.
b) On suppose que dans les bloc 1* et bloc 3*, les températures

sont uniformes et que la température de l'air (vol.

, est fonction de

.
Exprimer les puissances thermiques

, dans les sections d'abscisses respectives

en fonction des données. Déterminer

en fonction notamment de

.
I.A.4) L'enceinte est dans le même état qu'à la question précédente I.A.3.

Figure 6

On se donne

. La puissance thermique sortante

est imposée par la température externe

de l'air «extérieur» et vérifie la loi de convection thermique :

avec

.
a) On note

. Montrer que

est une résistance thermique, donner sa valeur numérique.
b) Exprimer

en fonction de

, des puissances dégagées dans les deux blocs de fer, et des résistances thermiques. Application numérique.

I.B - Étude des échanges thermiques, en régime stationnaire, dans un moteur à courant continu

La machine à courant continu décrite dans l'introduction fonctionne en moteur (voir les données). Ses seuls échanges thermiques avec l'air ambiant (à température uniforme et constante

) se font par la surface extérieure

de la carcasse du moteur (revoir la définition de

dans l'introduction). Dans le moteur, le bloc 3 désigne l'ensemble carcasse-inducteur-pôles, il est à la température uniforme

. La surface

des pôles échange de l'énergie thermique avec l'air de l'entrefer (vol. 2). L'induit (bloc 1) est à une température uniforme

. On considère que la surface de l'induit n'échange de la chaleur que par sa surface latérale

avec l'air de l'entrefer. On se place uniquement en régime thermique stationnaire. Une puissance thermique

est créée, dans le bloc 3 , par effet Joule dans le bobinage des pôles (inducteur). Une puissance thermique

est créée dans le bloc 1, par effet Joule dans le bobinage de l'induit. On supposera que ces puissances sont produites dans les volumes des bloc 3 et bloc 1 . On considère qu'à l'intérieur du moteur, tous les échanges thermiques sont radiaux (suivant la direction de

), tous les autres échanges thermiques sont négligés.
I.B.1) Pourquoi peut-on supposer que

(ou

) et

(ou

), sont pratiquement uniformes, alors que la température

(ou

) de l'air de l'entrefer, (vol. 2), est dépendante de

(distance à l'axe de rotation de l'induit) ? Pour répondre à cette question on ne demande aucun calcul nouveau, on fera référence à la partie I.A.
I.B.2) Exprimer

en fonction de

.
I.B.3) On étudie le volume d'air dans l'entrefer (vol. 2). Exprimer

en fonction de

Exprimer la résistance thermique

de l'entrefer (vol. 2) en fonction notamment de

. Application numérique. Montrer que cette résistance thermique peut s'exprimer plus simplement ; évaluer l'approximation relative qui en résulte.
I.B.4) Exprimer la résistance thermique

qui caractérise les échanges thermiques entre la carcasse du moteur et l'air extérieur. Application numérique.
I.B.5) Calcul des températures dans le moteur pour différents états.
a) Le moteur est arrêté, l'inducteur et l'induit ne sont pas alimentés (

), déterminer

. Application numérique : calculer

.
b) Le moteur est arrêté, l'inducteur est alimenté (

), déterminer

. Application numérique : calculer

.
c) Le moteur est en fonctionnement (

). Écrire les équations auxquelles satisfont

. Vérifier que les températures d'équilibre de l'induit et de l'inducteur sont respectivement

. Quelles seraient ces températures si l'on pouvait négliger la variation des résistances

avec

(en prenant donc

)? Conclure sur la validité de cette approximation.

I.C - Étude des échanges thermiques, en régime non stationnaire (variable dans le temps), dans un moteur à courant continu

Pour des raisons de simplification, dans les calculs qui suivent, on choisit de ne pas utiliser le coefficient

et d'introduire des résistances électriques moyennes constantes. On prend pour la résistance du bobinage de l'inducteur

et pour la résistance du bobinage de l'induit

. Dans tout ce qui suit

représente la variable temps.
I.C.1) On note

la capacité thermique de l'induit (bloc 1) et

celle de l'inducteur (bloc 3). Calculer

. Montrer, par un calcul numérique, que
l'on peut négliger la capacité thermique du volume d'air (vol. 2) devant

。
I.C.2) Recherche des équations thermiques du moteur.
a) On note

l'élévation de température du bloc 1 pendant la durée

. Déterminer l'énergie thermique

transférée à travers la surface

du bloc 1 , dans le sens de

, pendant

, en fonction de

et des données.
b) On note

l'élévation de température du bloc 3 pendant la durée

. L'énergie thermique

est transférée à travers la surface

du bloc 3 , dans le sens de

pendant

. L'énergie thermique

est transférée à travers la surface

du bloc 3 , dans le sens de

, pendant

. Exprimer

, en fonction de

et des données.
c) Exprimer

en fonction de

.
d) Exprimer

en fonction de

.
e) En déduire les deux équations thermiques du moteur, que l'on mettra sous la forme :

Exprimer

en fonction de

.
I.C.3) La résolution numérique des équations (1) et (2) donne les solutions suivantes :

avec

. Le modèle utilisé n'étant pas très fin, avec des précisions de

environ, on peut accepter des solutions approchées de la forme :

(induit) et

(inducteur). Les représentations graphiques des solutions calculées justifient ce modèle (surtout pour l'induit) et donnent les valeurs numériques des constantes de temps thermiques moyennes, respectivement de l'induit et de l'inducteur, suivantes:

.
a) Définition de la constante de temps électrique du moteur : le moteur étant bloqué, on applique un échelon de tension

au circuit de l'induit, le régime transitoire correspondant définit alors la constante de temps électrique

du moteur. Définition de la constante de temps mécanique du moteur : le moteur n'étant pas chargé, l'inducteur étant parcouru par le courant

, l'inductance totale du circuit d'alimentation de l'induit (figure 2) étant négligée,
les seules pertes considérées étant dues à la résistance totale du circuit, on applique un échelon de tension

au circuit, le régime transitoire correspondant définit alors la constante de temps mécanique

du moteur. Déterminer

, applications numériques. Conclure sur les conséquences des valeurs de ces constantes de temps

.
b) Des essais ont donné les résultats suivants pour ce moteur :

d'essai

Intensités

Températures en régime

stationnaire bloc 1, bloc 3

Dans ce qui suit, on utilise uniquement les résultats qui ont été dégagés dans la présentation de la question I.C.3, avec les valeurs des constantes de temps

.
i)Le moteur étant dans l'état de l'essai 0 depuis très longtemps, à

on passe brusquement à l'état de l'essai 1 , exprimer numériquement

.
ii)Le moteur étant dans l'état de l'essai 1 depuis très longtemps, à

on passe brusquement à l'état de l'essai 2 , exprimer numériquement

.
iii)Le moteur étant dans l'état de l'essai 2 , depuis très longtemps, à

on passe brusquement à l'état de l'essai 1 , exprimer numériquement

.
iv)Le moteur étudié fonctionne en mode séquentiel. On considère le régime forcé périodique obtenu depuis plusieurs heures. Les séquences sont les suivantes :

pendant une durée on a et (moteur en fonctionnement),
puis pendant une durée on a et (moteur au repos).
Déterminer la température maximale de l'induit et sa température minimale.

Partie II - Les fils électriques en cuivre

Les fils électriques les plus courants sont constitués de cuivre métallique entouré de polymère. Le polymère utilisé peut être parfois du polychlorure de
vinyle (PVC) plastifié ou un polysiloxane (silicone SI) suivant les conditions dans lesquelles on veut utiliser le fil électrique. Nous allons donc nous intéresser à la structure et à la préparation des deux composants de ces fils électriques.

Données :

Le cuivre (

) et le zinc (

) appartiennent à la même période (la quatrième).

Masse volumique du

cuivre métallique :
Masses molaires

atomiques :

Constante d'Avogadro :

Faraday :

Potentiels standard d'oxydoréduction :

à

Le cuivre

II.A - Cristallographie du cuivre métallique

Le cristal de cuivre a une structure cubique à faces centrées

(cfc).
II.A.1) Donner le schéma d'une maille cubique conventionnelle du cristal.
II.A.2) Déterminer le paramètre de maille

et le rayon métallique

du cuivre. Application numérique.
II.A.3) Déterminer la compacité

du réseau cristallin. Application numérique. Commentaire.
II.A.4) Quelle est la coordinence du cuivre dans cette structure ?
II.A.5) Indiquer par un schéma clair la position des sites interstitiels tétraédriques et octaédriques, et préciser leur nombre par maille. Déterminer égale-
ment les rayons maximaux respectifs

des atomes pouvant se loger dans ces sites, sans déformation de la maille. Application numérique.
II.A.6) Le laiton

est un alliage

dans lequel la proportion d'atomes de zinc est comprise entre 0 et

. S'agit-il à votre avis d'un alliage d'insertion ou d'un alliage de substitution ? Justifier avec précision la réponse.

II.B - Lixiviation d'un minerai de cuivre et purification de la solution obtenue

Les minerais de cuivre sont de deux types principaux : les minerais dits sulfurés, dans lesquels l'élément cuivre est associé à l'élément soufre et les minerais dits oxydés, dans lesquels il est associé à l'élément oxygène. On considère par la suite, par souci de simplification, que l'on traite d'un minerai contenant l'élément cuivre uniquement sous la forme de l'oxyde de cuivre CuO . Le minerai est tout d'abord finement broyé, puis subit une lixiviation sulfurique par une solution d'acide sulfurique

de concentration

, en excès.
II.B.1) Quel est le rôle de cette opération de lixiviation ? Résumer par une équation-bilan ce rôle.
Une des principales impuretés métalliques contenues dans le minerai de départ correspond à l'élément fer. Ce fer passe en solution lors de la lixiviation, sous forme d'ions

. Avant de passer à l'étape suivante (l'électrolyse de la solution obtenue), il convient de purifier de ces ions

la solution obtenue. En annexe, figure 7, sont donnés sur un même diagramme potentiel-

les diagrammes du fer et du cuivre. En trait pointillé celui du fer et en trait plein celui du cuivre. La convention pour le tracé est une concentration totale en espèces solubles de

pour le cuivre et de

pour le fer. Les espèces prises en compte pour le fer sont

et pour le cuivre

. Ce sont toutes des espèces qui possèdent un domaine de stabilité.
II.B.2) Placer les différentes espèces dans les différents domaines de ce diagramme, en justifiant votre choix.
II.B.3) Calculer le potentiel standard du couple

et les produits de solubilité de

en utilisant à chaque fois les coordonnées d'un point commun à différents domaines du diagramme; le produit de solubilité de

est défini comme étant la constante d'équilibre de la réaction

II.B.4) On insuffle de l'air ou du dioxygène pur dans la solution obtenue après lixiviation. Écrire le bilan de la réaction ayant lieu.
II.B.5) Proposer alors une opération à réaliser pour pouvoir séparer ensuite l'élément fer de l'élément cuivre par simple filtration.

II.C - Électrolyse de la solution sulfurique de sulfate de cuivre

À l'issue des étapes précédentes (lixiviations), on obtient une solution aqueuse de sulfate de cuivre

de concentration

et d'acide sulfurique

de concentration

. Afin de récupérer le cuivre sous forme métallique, on procède à l'électrolyse de cette solution. Une cuve d'électrolyse (figure 8 en annexe) se présente sous la forme d'un parallélépipède rectangle, de longueur

et de section

. Elle comporte 171 anodes en dérivation au même potentiel électrique, et 170 cathodes intercalées, en dérivation. Les anodes sont faites d'un alliage de plomb avec

d'antimoine, les cathodes sont en cuivre et ont une masse initiale individuelle

. On admettra que l'alliage dont sont faites les anodes est inerte en milieu sulfurique.
La cuve est alimentée de manière discontinue en électrolyte : on la remplit de

de solution issue de la lixiviation sulfurique, et on procède à l'électrolyse. On interrompt l'électrolyse lorsque la solution est trop appauvrie en ions

: leur concentration est alors

.
On procède alors au remplacement total de la solution par

de solution «fraîche» provenant de la lixiviation sulfurique. (La solution «épuisée» est recyclée pour en récupérer les différents composants par des opérations que nous n'étudions pas ici). Lorsque la cuve est remplie, la surface immergée de deux électrodes en regard est

. De la sorte, on considérera que ce système est équivalent à deux électrodes planes en regard (une anode et une cathode), dont la surface serait

.
II.C.1) Compléter la figure 8 sur l'annexe en représentant le générateur électrique extérieur, le sens de son branchement, ainsi que le sens de circulation effectif du courant dans le circuit et dans la cuve.
II.C.2) Écrire la réaction principale se produisant sur chaque électrode. Écrire la réaction bilan de l'électrolyse. On justifiera la réponse par un raisonnement simple sans aucun calcul lourd.
L'électrolyse est effectuée à densité de courant

imposée à la surface des électrodes (on n'étudiera pas le dispositif de régulation de la valeur de

). On procède au renouvellement des cathodes lorsqu'elles atteignent la masse individuelle

.
a) Avec quelle périodicité doit-on procéder au renouvellement des

de solution?
b) Avec quelle périodicité faut-il procéder au renouvellement des cathodes?

Le polymère

II.D - Polychlorure de vinyle plastifié (plastifiant : phtalate de dioctyle)

Le monomère utilisé lors de cette polymérisation en chaîne est le chlorure de vinyle ou 1-chloroéthène

. La polymérisation est effectuée sur une suspension du monomère dans un milieu aqueux renfermant un savon, un émulsifiant et un persulfate comme amorceur. Le PVC ainsi obtenu est un bon isolant électrique assez peu combustible et résistant à la chaleur.
II.D.1) Le chlorure de vinyle peut être obtenu à partir d'éthène

en utilisant comme intermédiaire de synthèse le 1-2-dichloroéthane

. Indiquer le réactif à utiliser pour préparer cet intermédiaire de synthèse à partir de l'éthène.
II.D.2) En réalité le chlorure de vinyle est préparé industriellement à partir de l'éthyne

. Sachant que la troisième liaison d'une triple liaison réagit comme une double liaison donner le mécanisme de formation du chlorure de vinyle par réaction d'

sur l'éthyne.
Le persulfate utilisé pour amorcer la réaction de polymérisation sera noté

. Le monomère chlorure de vinyle sera noté

. Le mécanisme proposé pour cette réaction est le suivant :

Pour

allant de 1 à (

étant le degré de polymérisation maximum atteint:

Quels que soient

compris entre 1 et

II.D.3) Cette réaction est-elle en chaîne ou par stades ? Justifier.
II.D.4) Calculer la vitesse de disparition du monomère.
II.D.5) Dans le cadre de l'hypothèse des chaînes longues, montrer que la vitesse de disparition du monomère admet un ordre global que l'on précisera.

II.E - Polysiloxane ou silicone

Les silicones sont utilisés pour leur stabilité thermique exceptionnelle. En général ils sont utilisables de

sans modification des propriétés. On peut donc utiliser ce polymère en particulier dans les cordons d'alimentation des
appareils chauffants (agitateur magnétique chauffant) sans risque de voir le cordon fondre.
Les silicones sont préparés par réaction de polycondensation : par exemple le diphényldichlorosilane

traité par l'eau donne un composé de formule brute

Celui-ci donne alors à l'aide d'une catalyse le silicone ci-contre, où

représente le radical phényle

. Le silicium est dans la même colonne de la classification périodique que le carbone. Il possède donc des propriétés voisines de celles du carbone.
II.E.1) Donner le bilan de l'action de l'eau sur le

diphényldichlorosilane. Comment dénommeriez-vous cette réaction?
II.E.2) Donner le bilan de la réaction d'obtention du polymère à

monomères à partir du composé de formule brute

.
II.E.3) Pourquoi cette réaction n'est pas une polymérisation en chaîne ? Comment la qualifieriez-vous?

FIN

Cette annexe doit être rendue avec les autres copies.
Attention, il ne pourra pas être délivré d'autre exemplaire de ce document.

Figure 7 : diagrammes potentiels

du cuivre et du fer

Annexe du sujet de Physique-Chimie PSI

Figure 8 : représentation schématique d'une cuve d'électrolyse