Centrale Physique MP 2002

Les vecteurs seront notés en caractères gras : par exemple le vecteur est noté et sa norme .

Dans cette partie, on étudie le principe de la propulsion. Pour ce faire, on considère une planche à roulettes ou un chariot sur lequel se trouvent un opérateur et sacs de sable de masse chacun. On néglige l'effet des actions dissipatives. Pour simplifier les expressions demandées on négligera la masse du chariot et

de l'opérateur devant la masse d'un sac. Le référentiel , attaché à l'axe est galiléen.
I.A - À l'instant , l'opérateur lance le premier sac de masse à la vitesse évaluée par rapport au chariot. Montrer que, dans le référentiel lié au sol (à l'axe ), la quantité de mouvement d'un système clairement défini se conserve. En déduire la vitesse

(évaluée dans ), du chariot et de tout ce qu'il contient après ce premier lancer.
I.B - À l'instant , l'opérateur lance un deuxième sac à la vitesse évaluée par rapport au chariot. Évaluer la vitesse par rapport à , du chariot et tout ce qu'il contient après ce deuxième lancer. Montrer que cette vitesse peut se mettre sous la forme :

On précisera le système étudié.

I.C - Établir l'expression de la vitesse du chariot, toujours évaluée par rapport au référentiel , après le jet effectué à l'instant , en fonction de et . On précisera le système étudié.
I.D - Établir l'expression de l'accélération moyenne du chariot sur une durée incluant le jet (par exemple entre et ) en fonction de et (par rapport à ).
I.E - On appelle le «débit de masse», c'est-à-dire la masse propulsée hors du chariot par unité de temps. Exprimer en fonction de et .
I.F - Montrer que le système {chariot et son contenu après le jet} semble soumis, sur une durée incluant le jet, à une force de poussée moyenne que l'on exprimera en fonction de et .

On étudie une fusée de masse totale (à l'instant ) et de vitesse dans un référentiel galiléen ; soit le débit massique (constant) de gaz éjectés, et leur vitesse d'éjection dans le référentiel lié à la fusée. La résultante des forces extérieures exercées sur la fusée est notée .
II.A - En effectuant un bilan de quantité de mouvement entre les instants et sur un système fermé, montrer que,

où est une «force de poussée» dont on donnera l'expression en fonction de et de .
II.B - On considère une fusée se déplaçant dans le vide, en l'absence de pesanteur ; les masses initiale et finale de cette fusée sont et et ont la même direction fixe. Exprimer l'accroissement de vitesse en fonction de et où est la norme de supposée constante.
II.C - On définit l'efficacité propulsive comme le rapport entre l'énergie cinétique communiquée à la «masse utile» à partir d'une fusée au repos et l'énergie totale dépensée, définie comme , où est la masse éjectée entre l'instant initial et l'instant final. Exprimer en fonction de .

Tracer l'allure de en fonction de . Comment interpréter qualitativement l'existence d'un maximum?
II.D - La masse totale au décollage d'une fusée Saturn V était de ; la vitesse d'éjection des gaz était de l'ordre de . L'accélération au décollage était d'environ . Évaluer le débit massique et commenter.
Dans les questions suivantes, le référentiel (muni du repère ) est lié au sol.
II.E - À , une fusée initialement immobile située à l'altitude est mise à feu. Supposons dans un premier temps que la fusée s'élève verticalement, dans un champ de pesanteur supposé constant, avec un débit massique constant. La planète est supposée sans atmosphère. Établir les expressions de la vitesse et de l'altitude en fonction du temps, de et . On rappelle que

II.F - Le rayon de la Terre est . L'intensité de la pesanteur au niveau de la surface de la Terre est . Évaluer l'énergie potentielle d'une masse de 1 kg au repos à la surface de la Terre en prenant son énergie potentielle nulle à l'infini.
II.G - L'énergie libérée par la combustion d'un kilogramme de mélange de dioxygène et de dihydrogène ne dépasse pas . Dans ces conditions, est-il possible de s'échapper du champ gravitationnel terrestre ? On demande une étude qualitative.
II.H - On considère maintenant un modèle très simplifié de vol non vertical. La fusée est censée s'élever au-dessus d'un plan horizontal (on néglige donc la courbure de la surface...). L'intensité de la pesanteur est supposée constante. On néglige toujours la résistance de l'air. Soit l'angle
entre la verticale et le vecteur vitesse de la fusée.
On note la «force de poussée» associée à l'éjection de gaz vers l'arrière, la masse instantanée.
II.H.1) Exprimer, en fonction de et de leurs dérivées premières temporelles, l'accélération du vaisseau par rapport au référentiel (Oxyz); on calculera ses composantes et sur la base , où et sont les vecteurs tangents et normaux à la trajectoire, et on montrera que

II.H.2) En projetant le principe fondamental de la dynamique, sur et , écrire les deux équations différentielles scalaires du mouvement. Les paramètres intervenant seront et .

II.I.1) On suppose dans la suite que le rapport est constant dans le temps. Cette approximation vous paraît-elle réaliste, sachant que le premier étage de la fusée Saturn V représente la plus grande partie de la masse initiale?
II.I.2) On posera

Établir dans ce cas l'équation différentielle liant et .
II.J - Résoudre l'équation précédente, en imposant que soit égal à quand est égal à . On donne :

II.K - Déduire de cette étude une stratégie pour envoyer un vaisseau spatial sur une orbite circulaire (encore une fois, l'étude proposée est très simplifiée). Quelle autre méthode proposeriez-vous pour obtenir la même orbite ? Quel est, à votre avis, l'intérêt de la méthode proposée ?

L'éjection de matière peut être obtenue par un moyen électrique, et non plus chimique.
III.A - À l'intérieur d'un véhicule spatial, des particules chargées de masse et de charge positive sont accélérées par une différence de potentiel puis éjectées hors du véhicule. Soit le débit massique de matière éjectée. Exprimer la «force de poussée» exercée sur le vaisseau spatial en fonction de , et .
III.B - Dans le cas où on néglige la force de pesanteur et la résistance de l'air, évaluer la puissance électrique minimale que doit fournir le générateur,
pour que l'accélération du vaisseau soit sera exprimée en fonction de et de la masse totale du vaisseau à l'instant considéré.
III.C - Analyse plus détaillée :

Considérons un flux de particules entre deux électrodes planes de section , distantes de ; est l'abscisse mesurée sur l'axe joignant les électrodes. Ces particules sont de masse et de

charge positive. La ddp entre les deux électrodes est ; le potentiel en est pris nul : et . Les particules sont émises avec une vitesse négligeable, puis sont accélérées au cours du trajet de la première électrode à la seconde. Soit le nombre de particules par unité de volume, en un point donné.
III.C.1) Exprimer la vitesse des particules en fonction du potentiel mesuré à l'abscisse (on supposera , vitesse de la lumière dans le vide).
III.C.2) Exprimer le flux massique de matière à travers une surface , à l'abscisse , en fonction de et .
III.C.3) Déduire de l'une des équations de Maxwell une relation entre (laplacien de ), et (permittivité du vide). Dans la suite, afin de déterminer des ordres de grandeur des caractéristiques du moteur, on utilisera un modèle simplifié supposant que

III.C.4) En raisonnant au point d'abscisse , exprimer en fonction de et vérifier la relation :

III.C.5) En déduire la poussée maximale de ce moteur , en fonction de , et .
III.C.6) Donner une relation simple entre la puissance électrique minimale et vitesse d'éjection des gaz puis en déduire l'expression de , en fonction de et .
III.C.7) Les paramètres et étant fixés, quels ions a-t-on intérêt à choisir?
III.C.8) Application numérique : la sonde Deep Space One, lancée le 24 octobre 1998, a atteint l'astéroïde Braille le 28 juillet 1999, puis est passée à 2000 kilomètres de la comète Borelly le 23 septembre 2001. Le moteur NSTAR équipant
la sonde, possède les caractéristiques suivantes (fournies par le constructeur Hughes Electron Dynamics) :

On donne le nombre d'Avogadro: , la masse molaire du Xénon : , la charge élémentaire vaut .
Les données fournies sont-elles cohérentes? (une réponse limitée à «oui» ou «non» sera considérée comme insuffisante). Évaluer la durée de fonctionnement (en heures). Soit l'accroissement de vitesse du vaisseau, en 24 heures de fonctionnement en continu du moteur. Évaluer l'ordre de grandeur de . Commenter le résultat.
III.C.9) À la sortie du moteur, le faisceau d'ions positifs éjectés est soumis à un faisceau d'électrons : pour quelle raison, à votre avis?
III.C.10) Les poussées engendrées par ce type de moteur sont bien plus faibles que celles d'un propulseur chimique. On considère pourtant que le moteur ionique est promis à un grand avenir pour stabiliser l'altitude d'un satellite. Quels intérêts présente-t-il pour cette application, à votre avis?

Une feuille de tissu réfléchissant solidaire d'un vaisseau spatial va dévier les photons issus du soleil, d'où un transfert de quantité de mouvement. L'orientation de cette «voile» permet de dévier la trajectoire des photons. On rappelle que la quantité de mouvement d'un photon de fréquence est où est la vitesse de la lumière dans le vide, et que son énergie est . On considérera un faisceau de lumière parallèle se propageant dans le vide ; on notera le nombre de photons par unité de volume. Les chocs entre les photons et la voile sont élastiques.
IV.A - Donner les propriétés principales d'un choc élastique.
IV.B - Exprimer, en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera, la variation de quantité de mouvement de la voile lors d'un choc avec un photon, si le photon arrive perpendiculairement à la voile.
IV.C - Exprimer le flux d'énergie lumineuse frappant une surface , perpendiculaire aux rayons lumineux en fonction de et .
IV.D - En déduire la force exercée par les photons sur cette surface en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera.
IV.E - Application numérique : la densité de flux d'énergie solaire est de , au voisinage de l'orbite terrestre. La vitesse de la lumière dans le vide est prise égale à . En déduire l'ordre de grandeur de la force qu'on peut obtenir pour une surface de . Commenter.
IV.F - Supposons que la voile ne soit plus perpendiculaire au faisceau lumineux. Soit l'angle entre le faisceau et la normale à la voile ; exprimer, en fonction de et d'un vecteur unitaire à préciser, la variation de quantité de mouvement de la voile lors d'un choc avec un photon. Exprimer la force de poussée exercée sur la même surface en fonction de et d'un vecteur unitaire à préciser. Exprimer la force de poussée en fonction de et de la force de poussée pour .
IV.G - Ce type de «propulseur», permet-il de se rapprocher du soleil ?
IV.H - Comparer ce type de «propulseur» avec les précédents.

On considère un vaisseau supposé ponctuel de masse , mobile par rapport à un astre de masse de centre et de rayon . Le champ de gravitation de cet astre est à symétrie sphérique. La constante de gravitation est notée . La distance entre le vaisseau et le centre de l'astre est . On se placera dans le référentiel (supposé galiléen) lié à l'astre. Sauf mention contraire, le moteur fusée est éteint, c'est-à-dire que le vaisseau est en vol balistique.
V.A - Montrer que le moment cinétique (calculé en ) du vaisseau est une constante du mouvement.
V.B - Cette constance de a deux conséquences sur la trajectoire du vaisseau : lesquelles?
V.C - Déterminer le champ gravitationnel créé par l'astre en un point extérieur à l'astre à la distance de en fonction de et du vecteur .
V.D - En déduire l'énergie potentielle du vaisseau en fonction de et en la choisissant nulle à l'infini.
V.E - Dans le cas d'une orbite circulaire de rayon , exprimer l'énergie mécanique du vaisseau et sa période de révolution en fonction de , et, si nécessaire, . Commenter le signe de .
V.F - Dans le cas où l'astre est notre Terre, on considère une masse de 1 kg , initialement au repos à la surface de la Terre (rayon ), puis placée sur une orbite circulaire de rayon . En prenant l'intensité du champ gravitationnel terrestre, au niveau du sol, égale à , évaluer numériquement la différence d'énergie mécanique entre ces deux états.
V.G - 1 «kilowatt-heure» électrique revient environ à ; en déduire numériquement le coût théorique de la satellisation d'un kg de charge utile. Le coût réel est de l'ordre de 1000 € par kg. Commenter ces valeurs.
On peut montrer que la trajectoire d'un vaisseau (moteur coupé) dans le champ gravitationnel de l'astre est une conique, d'équation polaire , où est l'excentricité de la conique et le paramètre. On se limitera ici au cas où la trajectoire est fermée, donc elliptique.
V.H - Dessiner l'allure de la trajectoire du satellite en plaçant l'astre attracteur, l'apogée et le périgée. Exprimer le demi-grand axe a de l'ellipse en fonction de et .
V.I - Donner la relation entre la période orbitale , le demi-grand axe et (troisième loi de Kepler).
V.J - Supposons qu'à la distance du centre de l'astre, la norme de la vitesse d'un vaisseau soit la même que pour une orbite circulaire mais que l'angle entre le support du vecteur vitesse et la tangente au cercle de centre et de rayon appartienne à . Déterminer en fonction de et les caractéristiques de la trajectoire de ce vaisseau : sa nature, le demi-grand axe , les distances du centre à l'apogée et du centre au périgée, l'excentricité , le paramètre .

VI.A - Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon décrite à la vitesse . On allume le moteur pendant un temps court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance au centre de l'astre. Évaluer la vitesse qu'il faut communiquer au vaisseau pour qu'il échappe au champ gravitationnel de l'astre en fonction de et .
VI.B - Le commandant de bord dispose en fait d'un «budget de vitesse» égal à ; cela signifie que la quantité de carburant disponible lui permet de faire
varier la vitesse du vaisseau, en une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesses n'excède pas .
VI.B.1) option 1 : le commandant utilise tout son budget d'un seul coup en amenant sa vitesse initiale à . Évaluer sa vitesse finale («à l'infini»), en fonction de .
VI.B.2) option 2 : on utilise un huitième du budget pour ralentir le vaisseau de à en un temps très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction. Décrire la nouvelle trajectoire: le demi-grand axe , les distances du centre à l'apogée et du centre au périgée, les normes des vitesses et à l'apogée et au périgée en fonction de . Quelle condition doit vérifier ?
VI.B.3) On utilise ensuite le reste du «budget vitesse» au passage au périgée pour augmenter au maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nature de la nouvelle trajectoire et déterminer la nouvelle vitesse finale («à l'infini»), en fonction de .
VI.B.4) Comparer les deux options, et commenter.

Il s'agit ici d'étudier le freinage du vaisseau par les hautes couches de l'atmosphère.
VII.A - Un modèle très simplifié conduit à l'équation différentielle suivante :

dépend de la forme du vaisseau, est la section (ou maître couple), la masse volumique de l'air au niveau du sol, la norme de la vitesse et une hauteur caractéristique. Pouvez-vous interpréter qualitativement cette équation différentielle?
VII.B - Exprimer en fonction de et de . Déduire des deux équations précédentes l'expression de .
VII.C - Dans la suite, on considère la masse du vaisseau et l'angle constants. Si la vitesse initiale à l'altitude est , exprimer en fonction de et des altitudes et .
VII.D - Simplifier l'expression précédente si .
VII.E - On montre que l'accélération du vaisseau peut s'écrire :

où ne dépend que du vaisseau.
Déterminer la décélération maximale , en fonction de , et .
VII.F - Application numérique :
VII.F.1) On s'intéresse à la rentrée dans l'atmosphère du vaisseau Apollo 13.
.
La décélération ne doit pas excéder 10 g où . Quelle est la valeur minimale de l'angle ? Commenter.
VII.F.2) La navette spatiale ne peut pas subir de freinage supérieur à ; en déduire l'angle minimal. Commenter.
VII.F.3) Que se passe-t-il si est trop proche de ?
VII.F.4) Si vous étiez responsable de la sélection des astronautes, quelle qualité privilégieriez-vous?
VII.F.5) Le freinage très violent que subit le vaisseau au cours de sa rentrée dans l'atmosphère nécessite une protection thermique très efficace ; connaissezvous une ou plusieurs des technologies mises en œuvre?