Centrale Physique MP 2012

Lancé le 20 juin 2008 de Vandenberg (Californie), le satellite océanographique Jason 2 permet, entre autre, de mesurer la hauteur des océans.
Dans une première partie, le problème étudie la trajectoire de ce satellite au-dessus de l'ionosphère, d'abord en considérant la Terre comme sphérique, puis en prenant en compte sa non-sphéricité. La seconde partie du problème aborde la diffusion des ondes radar sur l'océan et la troisième partie étudie l'influence de l'ionosphère sur la propagation de telles ondes.
Les trois parties sont indépendantes.

Dans tout le problème, désigne la valeur moyenne dans le temps de la grandeur .
La pulsation sera toujours réelle, positive, non nulle.
À toute grandeur réelle , on pourra associer la grandeur complexe .
Le nombre imaginaire est tel que .
La polarisation d'une onde électromagnétique fera référence au champ électrique.

Masse d'un proton
Masse d'un électron
Charge élémentaire
Permittivité diélectrique du vide
Perméabilité magnétique du vide
Célérité de la lumière dans le vide
Constante de gravitation
Masse de la Terre
Rayon de la Terre
Vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique

Gradient d'un champ scalaire en coordonnées sphériques ( )

Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données de l'énoncé.

I.A.1) Rappeler l'expression de la force de gravitation qu'exerce la Terre (centre , masse ) sur un satellite (point matériel , masse ), en fonction de la constante de gravitation , des masses et , de la distance et du vecteur unitaire .

I.A.2) On se place dans le référentiel géocentrique ( ) noté ( ), de base fixe ( ) (figure 2b).

a) Définir le référentiel géocentrique. Pourquoi ce référentiel n'est-il pas rigoureusement galiléen ? Justifier.

Dans toute la suite, le référentiel géocentrique ( ) est considéré comme galiléen et, sauf mention contraire, seule l'action de la Terre est prise en compte.
b) Dans ce référentiel, quelles sont les deux grandeurs mécaniques du satellite qui se conservent (on justifiera la réponse) ? Quelles caractéristiques du mouvement peut-on en déduire?
I.A.3) On se propose d'établir l'expression de la trajectoire du satellite autour de la Terre à partir de l'invariant dynamique de Runge-Lenz. On définit le vecteur de Runge-Lenz par où est la vitesse du satellite dans et le moment cinétique du satellite dans , calculé en .
a) Calculer dans . Conclure.
b) Dans quel plan se trouve ? Justifier.
c) On note la norme de et l'angle entre et . Montrer que où est la norme du moment cinétique du satellite. En déduire l'expression de la trajectoire du satellite sous la forme ; donner les expressions de et en fonction de et .
Suivant les valeurs de , rappeler les différentes trajectoires possibles.
I.A.4) On admet que la trajectoire de Jason 2 est circulaire (en réalité, ), de centre , de rayon , soit une altitude (juste au dessus de l'ionosphère). La masse du satellite Jason 2 est .
Établir en fonction de et , les expressions de :

Calculer numériquement ces grandeurs pour le satellite Jason 2.

On appelle inclinaison du satellite l'angle entre le plan équatorial et le plan de l'orbite (ici : on parle d'orbite prograde) (cf. figure 2a). On note le vecteur unitaire orthogonal au plan de l'orbite et orienté à partir du sens de parcours de la trajectoire (le sens de parcours est indiqué sur les schémas). On appelle nœuds et les deux intersections de la trajectoire circulaire du satellite avec le plan équatorial (figure 2b).
À cause des irrégularités de la répartition de la masse terrestre (en particulier l'aplatissement aux pôles) et des forces d'attraction de la Lune et du Soleil, en utilisant les coordonnées sphériques (figure 2c.), le potentiel de gravitation s'écrit (à l'ordre le plus bas en la perturbation) :

où est un nombre sans dimension.
I.B.1) Déterminer les composantes du champ de gravitation dans la base sphérique ( ) (cf. figure 2c). Donner l'ordre de grandeur de la valeur maximale du rapport dans le cas du satellite Jason 2. Conclure.

La composante confère à la trajectoire les propriétés essentielles (mouvement plan, circulaire); on se propose d'étudier l'influence de .
I.B.2) Soit le moment en de la force de gravitation, appliquée en . Déterminer ses coordonnées dans la base sphérique .
Ce moment peut également être projeté dans la base fixe ( ) de ( ) (cf. figures 2b et c); on peut montrer (la démonstration n'est pas demandée au candidat) qu'en moyennant sur une période on obtient, pour le mouvement circulaire du satellite :

I.B.3) Exprimer en fonction de sa norme et des vecteurs unitaires et .

Déterminer ensuite dans (à ce stade, on considèrera que et dépendent du temps).
En admettant que et que la norme reste à peu près constante, déterminer de nouvelles expressions de et .
I.B.4) Montrer que ne dépend pas du temps et que

Dans la suite, on note . Que représente le vecteur correspondant à cette variation? Comparer les vecteurs et (vecteur rotation de la Terre sur elle-même) en direction et sens. En s'aidant de la figure 2 b et du théorème du moment cinétique en , montrer qu'on pouvait prévoir le sens de variation de .
I.B.5) On définit alors une nouvelle période, la période nodale, qui est le temps entre deux passages à l'équateur dans le même sens. Pour Jason 2, elle vaut , elle est très voisine de .
Pour les satellites océanographiques, il est intéressant d'avoir un échantillonnage homogène de la surface du globe pendant une période, appelée période de répétitivité : il faut pour cela que le satellite repasse à la verticale des mêmes points du sol tous les où est le nombre entier de révolutions du satellite durant une période de répétitivité.
On note le nombre de fois où un même point du sol croise le plan de l'orbite du satellite dans un sens donné pendant une période de répétitivité.
Déterminer l'expression de en fonction de et . Calculer la valeur de pour .

Un radar altimétrique embarqué émet une onde électromagnétique (onde radio de fréquence ).
L'onde est émise en direction de la mer, celle-ci absorbe l'onde et la réémet : on parle de diffusion. Cette onde rétrodiffusée, appelée écho, est captée en retour par le radar.
La mesure de la durée du trajet aller-retour permet de déterminer la distance {surface océan - satellite}; par différence avec la position du satellite par rapport à un ellipsoïde de référence, on en déduit la hauteur de la mer.
On supposera que, durant ce trajet aller-retour, le satellite est immobile au dessus de la mer.
Dans toute cette partie, l'atmosphère sera assimilée au vide (indice optique égal à 1). Certaines perturbations apportées par le fait que l'ionosphère est un plasma seront abordées dans la partie III.

On s'intéresse au processus de rétrodiffusion de l'onde réémise par une surface de l'océan, éclairée par le radar. L'onde arrivant sur l'océan est considérée comme plane (bien qu'étant sphérique). Elle se propage dans la direction (figure 3) ( est sans rapport avec celui de la partie ). La direction de propagation n'est donc pas forcément celle de la verticale.

On s'intéresse à la rétrodiffusion dans la direction , cette rétrodiffusion est à rapprocher de la diffraction à l'infini. On considère que les angles et sont faibles.
L'amplitude de l'onde diffractée (ou rétrodiffusée) en un point à l'infini par une ouverture de surface est donnée par la relation suivante :

où est une constante complexe, un coefficient rendant compte de l'efficacité de la diffusion et la longueur d'onde de l'onde radar.
On s'intéresse à une portion de mer carrée, de côté selon les axes et , centrée en , lisse de telle sorte que avec . On considèrera que les vecteurs directeurs et des rayons incidents et rétrodiffusés sont toujours dans le plan (cf. figure 3).
II.A.1) Déterminer l'éclairement diffracté (ou rétrodiffusé) en , en fonction de , et de l'éclairement maximal .
II.A.2) Pour quel angle l'éclairement est-il maximal? Cela peut-il correspondre à l'écho perçu par le satellite?

On envisage la même portion de mer, mais cette fois-ci houleuse, de telle sorte que

avec et .
II.B.1) L'hypothèse était-elle valable à la question précédente?
II.B.2) Montrer que l'onde diffusée est constituée de trois ondes se propageant dans trois directions que l'on déterminera en fonction de et .
II.B.3) Laquelle de ces trois ondes est susceptible de correspondre à l'écho reçu par le satellite? Quelle condition doivent vérifier et pour pouvoir effectivement récupérer cet écho?

III.A.1) Rappeler les équations de Maxwell en présence de charges et de courants.

Quelles sont les traductions globales, dites aussi formes intégrales, de ces lois locales?
III.A.2) Établir l'équation de propagation du champ dans le vide (en l'absence de charges et de courants).
III.A.3) On considère une onde dont le champ électrique en notation complexe s'écrit :

où et .
Caractériser cette onde (donner 5 qualificatifs).
III.A.4) À quelle condition sur et cette onde est-elle une solution de l'équation de propagation? Comment appelle-t-on cette relation? Le vide est-il un milieu dispersif (à justifier)?
III.A.5) Déterminer l'expression réelle du champ magnétique .
III.A.6) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting . Quelle est la signification physique du flux de à travers une surface ouverte, arbitrairement orientée?

III.B.1) En absence de densité volumique de charges, mais en présence de densité volumique de courants , établir l'équation de propagation du champ en fonction de .
III.B.2) On considère une onde du type où et . On pose, en notation complexe, la relation d'Ohm : où est la conductivité électrique complexe du milieu, on suppose qu'elle ne dépend ni de l'espace ni du temps.
Réécrire l'équation de propagation du champ en fonction de .
À quelle condition sur et cette onde est-elle une solution de l'équation de propagation? On ne cherchera pas à résoudre cette équation.
III.B.3) On pose , avec et réels.
a) Écrire en notation réelle l'expression du champ électrique .
b) Par analogie avec le vide, dire ce que représente , la partie réelle de . Donner une interprétation du signe de . Quel phénomène physique traduit , la partie imaginaire de ?
Que dire si le produit est positif? Que dire si le produit est négatif?
c) Définir par une phrase la vitesse de phase et donner l'expression de la vitesse de phase de cette onde en fonction des grandeurs précédemment définies.
III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs (vecteur d'onde complexe) et . Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique et du champ réel . Que dire des champs et si est non nul?
III.B.5) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting puis l'expression de sa valeur moyenne . Commenter.
III.B.6) Une onde incidente, où et avec et deux réels, se propageant dans le milieu ( ) arrive en incidence normale sur une interface située en et séparant le milieu ( ) du milieu ( ).
Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, l'une réfléchie, , se propageant dans le milieu (A) et l'autre transmise, où avec et deux réels, se propageant dans le milieu .
On définit les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques au niveau de l'interface située en par

où et représentent respectivement les vecteurs de Poynting, au voisinage d'un point de l'interface, des ondes incidente, réfléchie et transmise ( désigne le module du vecteur ).
a) Justifier l'écriture du champ .
b) Donner les expressions de et de en fonction des données précédentes.
c) Que vaut la somme ? Quelle est la signification de cette égalité?
d) Que dire des coefficients et si ? Quelle en est la signification ?

Ne pouviez-vous pas prévoir ce résultat dès les questions III.B. 4 ou III.B. 5 ?
e) Connaissez-vous un exemple similaire en électrocinétique?

L'ionosphère, couche de l'atmosphère située à plus de 60 km d'altitude, peut être considérée comme un plasma : c'est un milieu ionisé, caractérisé par une densité volumique d'électrons libres de charge , de masse , égale à et une densité volumique de cations de charge , de masse , égale aussi à , l'ensemble est donc globalement neutre. La valeur de est supposée constante.
On se propose d'étudier dans ce milieu la propagation d'ondes du type où et . On pose à nouveau , avec et réels; si , alors on choisira .
Dans toute la suite, vous pourrez utiliser les résultats démontrés dans la partie III.B.
Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due aux champs électrique et magnétique de l'onde. On négligera l'effet de la pesanteur et les interactions entre particules chargées, et on supposera que les particules sont non relativistes (i.e. leurs vitesses sont très petites devant ).
III.C.1) En admettant que le rapport est de l'ordre de , montrer que les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie électrique de la force de Lorentz.
III.C.2) En régime établi, et en supposant que l'amplitude des déplacements des charges reste petite devant la longueur d'onde, déterminer l'expression du vecteur vitesse (dans le référentiel galiléen d'étude) d'un électron, positionné en à l'instant , en fonction de et . Donner l'expression du vecteur vitesse d'un cation. En déduire l'expression de la conductivité complexe du plasma . À la vue des valeurs numériques, montrer que .
III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres. Commenter.
III.C.4) Établir l'expression de dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique dite pulsation plasma ; donner son expression et calculer sa valeur numérique pour l'ionosphère. Calculer la longueur d'onde dans le vide associée. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette longueur d'onde?
III.C.5) On se place dans le cas .
a) Donner l'expression de en fonction de et (on prendra négatif).
b) Donner les expressions des champs réels et . Caractériser l'onde obtenue.
c) Donner l'expression de dans le plasma.
III.C.6) On se place dans le cas .
a) Donner l'expression de en fonction de et . Commenter.
b) Donner les expressions de et . Caractériser l'onde obtenue (donner 5 qualificatifs).
c) Donner l'expression de .
d) Déterminer l'expression de la vitesse de phase de cette onde en fonction de et . Le milieu est-il dispersif (justifier la réponse)?
e) Calculer la vitesse de groupe en fonction de et . Donner la signification physique de cette vitesse.
f) Comparer et à . Que penser du fait que puisse être supérieure à ?
III.C.7) Le choix de la fréquence des ondes radars émises par Jason 2 ( ) vous semble-t-il correct ?