Centrale Physique TSI 2013

Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données.
On s'intéresse ici à quelques aspects de la transduction électro-acoustique. Une large partie du problème est consacrée à la transduction électrodynamique. Un modèle simple de haut-parleur électrostatique est ensuite étudié.
Les différentes parties du problème sont largement indépendantes.

La figure 1 montre une vue en coupe du haut-parleur. L'ensemble possède la symétrie de révolution autour de l'axe . Il comprend:

L'aimant est formé d'un cylindre central (pôle sud) et d'une couche cylindrique extérieure (pôle nord) séparés par un entrefer d'épaisseur très faible (de l'ordre du millimètre), rempli d'air, dans lequel règne un champ magnétique radial statique avec et où est la base associée au trièdre des coordonnées cylindriques. La bobine est un solénoïde d'axe situé dans l'entrefer et donc plongé entièrement dans le champ précédent. La longueur totale du fil constituant la bobine est . L'ensemble bobine + membrane est un solide de masse , mobile en translation selon , appelé dans la suite «équipage mobile». Sa position est repérée par la coordonnée . Le spider et la suspension (voir figure 1) exercent sur l'équipage mobile une force de rappel élastique vers la position d'équilibre .

Un générateur extérieur applique aux bornes de la bobine une tension alternative (c'est-à-dire à valeur moyenne nulle) . Il apparaît un courant dans le circuit. Sous l'action des forces de Laplace, l'équipage mobile se met à osciller. Les vibrations de la membrane produisent une onde acoustique qui se propage dans l'air, «image sonore de la tension d'entrée .

Le poids de l'équipage mobile est supposé compensé exactement par les forces de rappel du spider et de la suspension dans la position , quelle que soit l'orientation de l'axe . Il n'intervient donc pas dans l'équation mécanique du problème.
On néglige toute déformation de la membrane au cours de ses déplacements (hypothèse bien vérifiée jusqu'à des fréquences de plusieurs centaines de hertz).
Le champ magnétique garde un module constant dans tout l'entrefer.
La bobine possède une résistance et une inductance propre indépendantes de la fréquence et de l'amplitude du courant électrique.

L'amplitude des oscillations de l'équipage mobile est supposée telle que la bobine reste toujours entièrement contenue dans l'entrefer de l'aimant.
Les mouvements de l'équipage mobile sont amortis par une force de type frottement fluide proportionnelle à la vitesse, de la forme

a) Représenter sur un schéma en perspective une spire de la bobine et la force de Laplace s'exerçant sur un élément de la spire. Le courant sera orienté dans un sens tel qu'une intensité positive engendre une force de Laplace dirigée vers les positifs.
b) Donner l'expression vectorielle de la force résultante sur la bobine en fonction de et .
c) Établir l'équation différentielle du second ordre à laquelle obéit .

a) Le déplacement de la bobine dans l'entrefer entraîne l'apparition d'une fem d'induction . Quelle relation lie la puissance des forces de Laplace à la puissance cédée par la fem d'induction au circuit ? En déduire l'expression :

b) Représenter le schéma électrique équivalent à la bobine en associant la résistance , l'inductance et la fem d'induction.
c) On applique une différence de potentiel aux bornes de la bobine. Écrire l'équation électrique du système.

On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation . On utilise la notation complexe pour les grandeurs , .
I.B.1) Que deviennent les deux équations précédentes ? En déduire l'impédance du haut-parleur.
I.B.2)
a) Montrer que se met sous la forme de la somme d'un terme électrique et d'une impédance appelée «impédance motionnelle», faisant intervenir les caractéristiques mécaniques du système, qu'on écrira sous la forme :

Donner les expressions de et en fonction de et .
b) En étudiant les comportements asymptotiques de et , donner l'allure de en fonction de . Pour quelle pulsation est-il maximum ? Quelle est la valeur de à cette pulsation ?

La figure 4 donne les graphes du module et de l'argument de d'un haut-parleur réel pour des fréquences allant de 1 Hz à 1 kHz . L'échelle des abscisses est logarithmique. L'argument est en degrés. On cherche à savoir dans quelle mesure le modèle précédent est adapté.
I.C.1) L'inductance propre de la bobine est inférieure à . Justifier numériquement que, pour les fréquences inférieures à 300 Hz , on peut écrire . On fera cette approximation dans la suite du problème.
I.C.2) a) L'allure des courbes est-elle compatible avec la forme de l'expression de ?
b) Déterminer graphiquement et en expliquant la méthode utilisée.

On pose et .
a) Récrire en fonction uniquement de et .
b) On cherche à résoudre . Montrer que cela est équivalent à résoudre .
c) Supposons qu'on ait trouvé une solution , montrer que est aussi solution.
d) En déduire que l'équation possède deux solutions positives et , que l'on ne cherchera pas à expliciter et qui vérifient .
e) Proposer alors une méthode graphique de détermination de et en estimer la valeur numérique. Estimer également les valeurs de et (sans oublier de préciser les unités). On prendra : .
I.C.4) La remontée de aux hautes fréquences semble compatible avec la présence de l'inductance propre de la bobine. Pourquoi le modèle est-il cependant pris en défaut ?

On se place en régime sinusoïdal forcé. Dans toute la suite du problème, on néglige l'inductance propre de la bobine dans l'équation électrique.
I.D.1) À partir des deux équations du système établies au I.A, montrer que l'équipage mobile est un oscillateur forcé amorti par une force de frottement fluide et donner l'expression de en fonction de et .
I.D.2) En déduire en régime sinusoïdal forcé la fonction de transfert

On donnera l'expression de en fonction de et . Quelle est la nature du filtrage réalisé ?
I.D.3) En utilisant les valeurs obtenues au I.C, donner la valeur numérique de . En déduire la valeur du coefficient de frottement .
I.D.4)
a) Représenter sommairement le diagramme de Bode en gain en fonction de pour .
b) Pour , on dit que le haut-parleur fonctionne «en contrôle de raideur» et pour , «en contrôle de masse ». Interpréter.
c) Pour le haut-parleur précédent, le constructeur donne : et . Quelle amplitude maximale doit-on donner à la tension d'entrée si on veut limiter l'amplitude des oscillations de l'équipage mobile à 5 mm ? Pourquoi doit-on limiter cette amplitude?

On montre que la célérité des ondes sonores dans un fluide de masse volumique et de pression est

où

est le coefficient de compressibilité isentropique. et sont les champs de masse volumique, de pression et de température, uniformes dans le fluide au repos. On se propose d'exprimer pour un gaz parfait de masse molaire .
II.A - Quelle relation lie et la température à l'équilibre (équation d'état)?
II.B - Donner une relation liant et le coefficient pour les évolutions isentropiques (c'est-à-dire adiabatiques et réversibles). En déduire l'expression de à la pression , puis celle de en fonction de et .
II. - Application numérique. Pour l'air assimilé à un gaz parfait, on donne : , . Évaluer à la température et conclure.

Lors du déplacement de la membrane, l'air est mis en mouvement au voisinage des deux faces de celle-ci. En plus de l'onde sonore vers l'avant, il y a production d'une onde vers l'arrière en opposition de phase avec la première. La superposition de ces deux ondes produit un «court-circuit acoustique»: la puissance sonore rayonnée est alors très faible.

On doit donc supprimer l'onde arrière. La solution la plus courante consiste à fixer le haut-parleur dans un caisson clos de dimensions faibles devant les longueurs d'onde rayonnées : c'est le concept de l'enceinte acoustique (figure 2). Lorsqu'il est associé à un caisson sphérique de volume , les courbes d'impédance (module et argument de en fonction de la fréquence) du haut-parleur précédent deviennent celles de la figure 5. Elles diffèrent de celles du haut-parleur nu. On se propose d'interpréter ces modifications.
Pour simplifier, on assimile la membrane à un disque plan de surface . Le caisson est rempli d'air considéré comme un gaz parfait diatomique de coefficient . Au repos, la pression dans le caisson est égale à la pression atmosphérique , la masse volumique de l'air est et la membrane est en . L'axe est orienté vers l'extérieur du caisson (figure 2).
III.A - Lorsque la membrane oscille, l'air dans l'enceinte subit des compressions/détentes supposées adiabatiques réversibles (c'est-à-dire isentropiques).
III.A.1) Quelle relation lie la pression dans le caisson à l'abscisse de la membrane ?
III.A.2) L'amplitude des oscillations étant faible, on a toujours . En faisant un développement limité de l'expression précédente au premier ordre en , écrire sous la forme et donner l'expression de en fonction de et .
III.A.3) Montrer qu'il apparaît sur la membrane une force supplémentaire de rappel élastique et donner l'expression de .
III. B - Quel volume faudrait-il donner au caisson pour que soit égale à la raideur de la suspension? est le «volume d'air équivalent à la raideur de la suspension». Dans la suite, on pose .
III. - Que devient l'équation mécanique du I.A.1.c) lorsqu'on tient compte de la nouvelle force ? On introduira les grandeurs et .
III. - L'équation électrique du I.A.2.c) est inchangée (inductance propre toujours négligée). Écrire les équations électrique et mécanique en régime sinusoïdal forcé et en déduire l'impédance du haut-parleur en enceinte close. Comme au I.B, on la mettra sous la forme où

est la nouvelle impédance motionnelle et on donnera les expressions de et en fonction de et .

III.E.1) À partir des graphes de la figure 5 et en procédant comme au I.C.3, donner les valeurs expérimentales de et .
III.E.2) En comparant et , donner la valeur de , puis le volume et la raideur de la suspension (sans oublier de préciser l'unité). Le volume du caisson est .
III.E.3) Le modèle adopté conduit à la relation . Cette relation est-elle vérifiée numériquement ? Pour interpréter le désaccord, on admet qu'en enceinte close, la force de frottement fluide est également modifiée et devient . En comparant et , déterminer le rapport .
III.E.4) Montrer qu'une autre mesure de ce rapport peut être obtenue à partir du graphe. Est-elle compatible avec la première ?

Deux disques conducteurs de même rayon, parallèles, sont écartés d'une faible distance . L'un d'eux est fixe ("la base"), l'autre constituant la membrane est mobile en translation selon l'axe .

La membrane de surface est rappelée vers la position par la force de rappel élastique . Elle est également soumise, lors de ses déplacements, à la force de frottement fluide . L'air séparant les disques est assimilable, du point de vue électrostatique, au vide. Lorsqu'on établit une différence de potentiel (ddp) entre les disques, il apparait une charge électrique sur la base et une charge opposée sur la membrane. Ces charges sont réparties uniformément sur chaque disque.

La base est assimilée à un plan infini portant la densité surfacique de charge uniforme.
IV.A.1) En utilisant les propriétés de symétrie et d'invariance de la distribution de charge, préciser, en les justifiant, la direction du champ crée par la base seule et sa dépendance avec les coordonnées spatiales.
IV.A.2) Comparer les champs et créés par la base seule en deux points et symétriques par rapport au plan des charges.
IV.A.3) En appliquant le théorème de Gauss à un cylindre d'axe traversant le plan de charge, déterminer le champ créé par la base seule dans tout l'espace en fonction de puis de la charge .
IV.A.4) En déduire la force électrique subie par la membrane. Est-elle attractive ou répulsive ?
IV.A.5) L'ensemble des deux conducteurs constitue un condensateur de capacité . Exprimer en fonction de et des constantes du problème.

IV.B.1) La ddp étant maintenue constante et égale à , quelle est l'équation vérifiée par la coordonnée de la membrane à l'équilibre ? Que peut-on dire à priori du nombre de solutions de cette équation ?
IV.B.2) On se propose de faire une discussion graphique de l'existence de ces solutions. Mettre l'équation sous la forme où est une fonction de . En traçant les graphes des fonctions associées à chacun des deux membres, montrer qu'il existe des valeurs de pour lesquelles l'équation admet deux solutions et telles que .
IV.B.3) Discuter qualitativement de la stabilité de chaque position.
IV.B.4) Déterminer la valeur maximale de permettant d'obtenir une position d'équilibre stable. Que valent et pour ?
IV.B.5) Application numérique. On prend pour la position d'équilibre stable, , et . Déterminer et .

IV.C.1) Donner l'équation différentielle reliant à la tension en régime variable. On notera la masse de la membrane.
IV.C.2) étant une tension oscillante autour de la valeur précédente, de la forme avec , on étudie les petits mouvements de la membrane au voisinage de la position d'équilibre stable et on pose avec . Écrire l'équation différentielle vérifiée par .
IV.C.3) Montrer qu'avec les hypothèses, cette équation prend la forme simplifiée

On fera un développement limité au premier ordre en et .
Donner les expressions de et en fonction de et .
Donner les valeurs numériques de et (en reprenant les données de la question IV.B.5).
Conclure.

On prend . On note et les représentations complexes de et .
IV.D.1) Quelle est la nature du transfert ?
IV.D.2) La membrane est une feuille d'aluminium d'épaisseur , d'aire et de masse volumique . Calculer la fréquence propre du système.
IV.D.3) On se place à une fréquence (en «contrôle de raideur»). Quelle amplitude doit-on donner à pour obtenir une amplitude d'oscillation ?
Comparer avec le haut-parleur électrodynamique.
Conclure.