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E3A Mathématiques 1 MP 2015

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
E3A
Année
2015
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2015MP MathsMaths 2015
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 MP

Durée 4 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice

On appelle la matrice carrée d'ordre ayant des 2 sur la diagonale et des 1 ailleurs, c'est-àdire :
  1. Soit la matrice carrée d'ordre dont le terme général est égal à 1 , c'est à dire :
(a) Exprimer la matrice en fonction de la matrice .
(b) En déduire un polynôme annulateur du second degré de la matrice .
(c) Montrer que la matrice est inversible et calculer son inverse .
2. (a) Montrer qu'il existe une matrice appartenant au groupe orthogonal et une matrice diagonale telles que :
(b) Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de la matrice , en déduire la matrice .
3. Soit l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels vérifiant la relation :
(a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.
(b) Pour toute matrice de l'ensemble , on pose où la matrice est la matrice de la question 2)a). Montrer que :
où désigne la matrice diagonale de la question 2 ).
(c) Soit l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels vérifiant la relation :
On admet que est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, montrer que : .
(d) En déduire la dimension de l'espace .
4. On appelle l'application de dans définie par: où et désignent les matrices colonnes formées par les coordonnées des vecteurs et dans la base canonique de .
(a) Montrer que est un produit scalaire sur .
(b) A chaque matrice de l'espace , on associe l'application linéaire de dans lui-même telle que la matrice de dans la base canonique soit la matrice . Montrer que l'application linéaire est symétrique pour le produit scalaire .
(c) En déduire que pour toute matrice de l'espace , il existe une matrice appartenant à et une matrice diagonale appartenant à vérifiant

Exercice

A toute suite de réels et à toute suite de réels non nuls on associe la matrice de où est un entier strictement positif.
On note son polynôme caractéristique qui est égal à det .
  1. Déterminer une relation de récurrence entre les polynômes et .
  2. (a) Justifier que la matrice est diagonalisable.
    (b) Soit une valeur propre réelle de la matrice , calculer le déterminant de la matrice
extraite de la matrice en supprimant sa première colonne et sa dernière ligne.
(c) En déduire le rang de la matrice pour valeur propre de la matrice .
(d) En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice admet racines distinctes.
3. On appelle le déterminant de la matrice où et désignent respectivement les fonctions polynômes dérivées des fonctions polynômes et .
(a) Soit . Montrer que : .
(b) Montrer que est strictement positif pour tout réel. En déduire le signe de pour tout .
4. Montrer que l'application s'annule entre deux zéros consécutifs de .
(On pourra considérer l'application )

Exercice n

  1. Montrer que l'intégrale existe. On admet alors que :
  1. (a) Montrer que pour tout strictement positif et pour tout réel, l'application est prolongeable par continuité en 0 .
    (b) Montrer que : , l'application ainsi prolongée est intégrable sur .
  2. On note, :
(a) Montrer que est réelle.
(b) Soit et . On admet l'existence de l'intégrale .
Montrer que :
(c) En déduire le calcul de l'intégrale pour puis pour quelconque.
(d) En déduire le calcul de l'intégrale .

Exercice 4

Des bits d'information, c'est-à-dire des 1 ou 0 , sont transmis par l'intermédiaire d'un canal. Ce canal n'est pas complètement fiable. On observe qu'un bit envoyé, un 1 ou un 0 , peut être altéré en sortie, c'est-à-dire qu'un 1 (respectivement un 0 ) en entrée du canal peut devenir un 0 (respectivement un 1 ) en sortie.
On note le bit envoyé et le bit en sortie ( et ).
Après observation, on modélise la transmission d'un bit de façon probabiliste :
  • Le bit envoyé définit une variable aléatoire : On note la probabilité qu'un 1 soit envoyé, (c'est-à-dire et donc la probabilité qu'un 0 soit envoyé.
  • La perturbation dans le canal est aussi modélisée de façon probabiliste :
  • On désigne par la probabilité qu'un 1 en entrée ne soit pas altéré pendant la transmission (c'est-à-dire et donc désigne la probabilité qu'un 1 en entrée devienne un 0 en sortie.
  • On désigne par la probabilité qu'un 0 en entrée ne soit pas altéré pendant la transmission, et donc désigne la probabilité qu'un 0 en entrée devienne un 1 en sortie.
  1. On a écrit ci-dessus . Exprimer de la même manière et en terme de probabilités conditionnelles.
  2. Un bit est envoyé. Quelle est la probabilité de recevoir un 1 en sortie ?
  3. On reçoit le bit 1. Quelle est alors la probabilité qu'un 1 ait été envoyé en entrée ?
Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On décide d'envoyer fois le même bit . On note les bits obtenus en sortie et on note la variable aléatoire qui compte le nombre de 1 en sortie. On remarque que les valeurs possiblement prises par sont .
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  1. Soit un entier entre 0 et . Exprimer en fonction des paramètres .
  2. En déduire l'espérance de en fonction des paramètres .
  3. Soit un entier entre 0 et . Exprimer la probabilité que le bit 1 ait été envoyé sachant que le nombre de 1 en sortie vaut .
Le canal est désormais supposé symétrique, c'est-à-dire que chaque bit, que ce soit un 0 ou un 1 , peut-être altéré avec la même probabilité ( ). On suppose .
7. (a) Déterminer en fonction des paramètres et , l'ensemble des valeurs prises par pour lesquelles il est plus probable (au sens strict) qu'un 1 ait été envoyé plutôt qu'un 0 ?
(b) Que devient ce résultat lorsque ?
8. On suppose . On note la probabilité que l'interprétation de l'observation en sortie soit fausse, c'est-à-dire que le bit en entrée n'est pas celui le plus probable en sortie.
(a) Exprimer en fonction des , pour des entiers entre 0 et .
(b) Donner une expression de en fonction de et .
(c) Ecrire une fonction binome en langage Python qui prend en entrée un entier naturel et un entier naturel compris entre 0 et et retourne la valeur du coefficient binomial .
(d) On suppose . Ecrire un programme en langage Python qui prend en entrée l'entier naturel et donne une estimation de .
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