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E3A Mathématiques 1 MP 2019
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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
Épreuve de Mathématiques 1 MP
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Exercice 1.
On rappelle les formules de trigonométrie que l'on pourra utiliser sans les redémontrer :
Soit
Pour tout entier naturel
Pour tout entier naturel
- Déterminer l'ensemble de définition
de la fonction . - Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions
sur . - Donner pour tout
une expression de à l'aide des fonctions usuelles. - Pour tout entier naturel
, on note :
4.1 Calculer
4.2 Déterminer
5. On pose enfin, lorsque cela existe,
4.2 Déterminer
5. On pose enfin, lorsque cela existe,
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
Exercice 2.
Soient
Soit
Soit
Soit
Soit
- Dans cette question
et est muni de la base:
oùet .
1.1 Vérifier queest un endomorphisme de .
1.2 Déterminer la matrice dedans la base . Démontrer que est un automorphisme de .
1.3 Reconnaître la nature géométrique de l'automorphismeen précisant ses éléments caractéristiques. - Exprimer
en fonction de dans les cas et .
On revient au cas général et on admettra que
3. Montrer à l'aide d'opérations sur les colonnes et en utilisant
3. Montrer à l'aide d'opérations sur les colonnes et en utilisant
4.1 Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 de l'endomorphisme
4.2 En déduire les éléments propres de l'endomorphisme
5. Soient
5.1 Déterminer les colonnes du produit matriciel
5.2 Retrouver alors le résultat de la question 4.1.
4.2 En déduire les éléments propres de l'endomorphisme
5. Soient
5.1 Déterminer les colonnes du produit matriciel
5.2 Retrouver alors le résultat de la question 4.1.
Exercice 3.
On se propose de déterminer toutes les fonctions
Pour toute fonction
- Soit
une fonction continue sur .
1.1 Justifier queest de classe sur .
1.2 Montrer que sivérifie ( ), alors est dérivable sur . - Démontrer que
est solution de ( ) si et seulement si :
- En déduire que
est solution de si et seulement si :
- On suppose qu'il existe une fonction
développable en série entière sur , vérifiant :
4.1 Prouver que l'on a :
4.2 En déduire une expression de
5. Déterminer alors l'ensemble des solutions du problème (
4.2 En déduire une expression de
5. Déterminer alors l'ensemble des solutions du problème (
Exercice 4.
Question de cours : Soit
Soit
On note
Soit
Soit
On note
Soit
- Montrer que
.
2.1 Prouver que pour tous
2.2 En déduire que
3. On sait qu'il existe alors une base orthonormale
Montrer que:
Pour
4. Déterminer alors
5.
5.1 Pour tout
5.2 Déterminer
2.2 En déduire que
3. On sait qu'il existe alors une base orthonormale
Montrer que:
Pour
4. Déterminer alors
5.
5.1 Pour tout
5.2 Déterminer