Durée 4 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les quatre exercices sont indépendants

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Pour tout tel que , on désigne par la matrice de de coefficients tous nuls exceptés ceux tels que :

1 1.a) On prend est- elle diagonalisable? est-elle inversible?
1.b) On prend est -elle diagonalisable? est- elle inversible?

2 Dans cette question seulement on prend . Soit notée simplement et soit le polynôme .
2.a) Calculer les matrices et .
2.b) Justifier que est diagonalisable.
2.c) Déterminer une matrice , à coefficients entiers, inversible et telle que soit une matrice diagonale notée avec .
2.d) Montrer que est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel et justifier que est bijectif.
2.e) Montrer qu'une matrice commute avec si et seulement si est une matrice diagonale.
2.f) Montrer que l'ensemble est un sous-espace vectoriel de et, en utilisant les questions précédentes, déterminer sa dimension.
2.g) Justifier que la famille ( ) est une base de (où ).

3 On note ici l'espace vectoriel réel des polynômes réels de degré , et la base canonique de .

Si désigne le polynôme dérivé de .
3.a) Justifier que l'application est un endomorphisme de l'espace vectoriel et calculer pour tout .
3.b) Comparer la matrice de dans la base et la matrice définie en préliminaire.
3.c) Pour tout , on définit le polynôme . Déterminer le réel tel que , Que peut-on déduire de ce calcul ?
3.d) Justifier que la matrice est diagonalisable dans .
3.e) Préciser selon dans quel cas est inversible.
3.f) Montrer l'existence d'une matrice telle que .

1 1.a) Rappeler la définition de la fonction Arctan, ainsi que son tableau de variation et sa dérivée. Justifier que pour tout réel , on a : .
1.b) Étudier et représenter la fonction définie par :

1.c) Pour , soit . Calculer la dérivée .

En déduire une relation entre et pour .
1.d) Déterminer le développement en série entière de la fonction Arctan sur ] - 1,1 [.

2 On considère la fonction définie par et pour tout réel ,

2.a) Justifier que pour tout , on a : .

On traitera le cas et on étendra le résultat au cas , en utilisant un argument à préciser sur la continuité sur de la somme de la série de fonctions.
2.b) Justifier que est de classe sur (on raisonnera sur [ puis sur .)

3 Soit pour ,
3.a) Montrer que est bien définie et est de classe sur ; préciser .
3.b) Trouver une relation entre et pour .

Pour cela, on pourra utiliser .
3.c) Soit pour et .

Montrer que est développable en série entière sur , et de classe sur .
3.d) Donner une relation entre et pour .

4 Pour , on pose : .
4.a) Montrer que est définie sur et impaire.
4.b) Montrer que est de classe sur . On précisera bien le théorème utilisé.
4.c) Déterminer pour (avec une expression sans intégrale), si puis . Pour cela on pourra utiliser la relation :

4.d) En déduire la valeur de pour tout réel .
4.e) Si , justifier l'existence et calculer .
4.f) En déduire la valeur de .

On considère l'espace vectoriel euclidien orienté muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant orthonormale et directe. On notera . produit scalaire tel que si .
désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de .
1 On considére les deux sous-espaces vectoriels de définis par :

1.a) Justifier que est bien un sous-espace vectoriel de (on l'admettra pour ) et montrer que est réduit à l'endomorphisme nul.
1.b) Soit et la matrice de dans la base , avec .

Montrer que :
(i) ,
(ii) .
1.c) Soit et . On lui associe tel que . Montrer que et que
1.d) Conclure que et sont deux sous-espaces supplémentaires de .

2 2.a) Soit . Justifier l'existence de ( ) base orthonormale de et de trois réels tels que:

2.b) Préciser dans quel cas est une projection orthogonale, ou alors une symétrie orthogonale.
2.c) Exemple 1. Soit tel que ,

Déterminer ( ) base orthonormale de et pour comme en 2.a).
3 Soit non nul.
3.a) Montrer que et sont orthogonaux, puis que .
3.b) Montrer que est stable par et que l'endomorphisme induit par sur ne peut pas avoir de valeur propre (réelle). En déduire que est de rang 2 .
3.c) Justifier l'existence de base orthonormale directe de et d'un réel tels que :

3.d) Exemple 2. Soit tel que

Déterminer ( ) base orthonormale directe de et associés à (cf. 3.c)).
4 Soit et la rotation telle que , On considère aussi tel que .

Donner la décomposition de comme en 2.a), ainsi que de comme en 3.c) lorsque .

On s'intéresse aux nombres de Fibonacci définis par récurrence par et:

1 1.a) Écrire en langage Python une fonction " " permettant le calcul de .
1.b) On peut démontrer et on l'admettra, que ces nombres vérifient les relations suivantes pour tout :

Vérifier cette propriété en calculant ainsi .
Compléter l'écriture de la fonction "fibb " ci-dessous permettant de calculer , on commencera au dernier "else" sur la copie en rajoutant les instructions manquantes.

def $f i b b(n)$ :
    if $n<=1$ :
        return $n$
    else :
        if $n \% 2==0$ :
            $a=f i b b(n / / 2)$
            $b=f i b b(n / / 2-1)$
            return $a *(2 * b+a)$
        else : ...

2 2.a) Soit . Pour tout , exprimer les coefficients de au moyen des nombres de Fibonacci et .
2.b) Écrire en langage Python une fonction "fibbb " permettant le calcul de en utilisant le calcul de (dont le calcul doit intervenir dans le programme).
2.c) Montrer que pour tout , on a : .

3 3.a) Montrer la convergence de la série de terme général et exprimer au moyen de (dont l'existence résulte de la convergence de la série).
3.b) Grâce à une propriété concernant les séries alternées et que l'on rappellera, étant donné , écrire un algorithme (en français ou alors en langage Python) permettant de calculer une valeur approchée de au moyen d'une somme partielle de cette série, avec une précision inférieure à .

4 On note et , On peut montrer et on l'admettra, que l'on a:

4.a) Calculer de 3.a) au moyen de .
4.b) Pour tout , montrer la convergence de la série ainsi que l'égalité :