et sont des entiers naturels donnés.
désigne lensemble des matrices réelles ou complexes à lignes et colonnes.
désigne un intervalle ouvert de et un élément de . Le réel 0 est supposé appartenir à lintervalle I.

Une fonction matricielle de type ( ) définie sur est une application de vers où, pour tout de 1 à et pour tout de 1 à est une application de vers qui au réel associe le réel .

Soient et deux fonctions matricielles de type définies sur . La notation signifie que pour tout de 1 à et pour tout de 1 à (égalité entre deux applications de vers ).

La fonction matricielle de type ( ) définie sur est continue en (respectivement dérivable ou de classe en ) si chaque fonction réelle est continue en (respectivement dérivable ou de classe en ) et la fonction matricielle dérivée est définie en par :

et de même pour les dérivées dordre supérieur si elles existent.
La fonction matricielle de type ( ) définie sur est continue sur (respectivement dérivable ou de classe sur ) si elle est continue (respectivement dérivable ou de classe ) en tout point de .

Lintégrale définie de la fonction matricielle continue sur , entre les bornes et de est la matrice réelle à lignes et colonnes définie par :

Le produit de deux matrices et de est noté .
Question 1 : et désignent deux éléments de 1 tels que et est une matrice de . La fonction matricielle de type ( ) étant supposée continue sur , montrer que :

Question 2 : Soient et deux fonctions matricielles dérivables de type ( ) définies sur . Montrer que le produit matriciel F.G définit une nouvelle fonction matricielle dérivable de type ( ) sur et que

Question 3: désigne un élément de .
Soit une fonction matricielle dérivable de type ( ) définie sur et telle que la matrice soit inversible, d'inverse . Montrer que la fonction matricielle est définie et dérivable sur un voisinage de et vérifie :

désigne la matrice identité d'ordre . Soit une matrice réelle à lignes et colonnes admettant les valeurs propres (réelles ou complexes) , chacune apparaissant avec son ordre de multiplicité. Les matrices sont définies par :

désignent les applications de dans (ou ) définies par :

Soit la fonction matricielle de type définie sur par :

Question 1 : Déterminer la matrice lorsque .
L'entier est maintenant quelconque.
Question 2: Expliciter la matrice .
Question 3 : Déterminer la matrice .
Question 4 : Vérifier légalité suivante:

Question 5 : En déduire que

Question 6 : Déterminer une fonction matricielle , dérivable de type ( ) définie sur et vérifiant :

Prouver lunicité de et exprimer en fonction de la matrice .
Question 7 : Application numérique :
Déterminer lorsque .
Question 8 : et non nul sont deux réels et .
Donner une interprétation géométrique de lapplication linéaire de dans représentée par la matrice dans une base orthonormée de .

Dans cette partie, les preuves seront fondées sur la définition de la matrice donnée en deuxième partie. Lentier est quelconque, et sont deux matrices réelles à lignes et colonnes . et sont deux éléments de lintervalle .
Question 1 : Prouver que .
Question 2: Montrer que est inversible et donner son inverse.
Question 3 : et . Comparer et . Calculer et comparer et .

Question 4 : Dans le cas où les matrices et sont permutables ( cest à dire ), prouver que .

est un élément de . est une matrice donnée dans .
Question 1 : Dans cette question, pour tout de 1 à , et tout de 1 à est une application de classe de vers (qui associe au couple ( ) de le réel ). Soit la fonction matricielle réelle à deux variables de type ( ) définie sur par

Montrer l'égalité matricielle :

Il sera opportun d'introduire , fonction matricielle réelle à deux variables de type ( ) définie sur par

Question 2 : Soit, une fonction matricielle continue , de type ( ) définie sur et une matrice unicolonne à lignes.
La fonction matricielle à deux variables, de type définie sur est donnée par

Montrer que la fonction matricielle de type ( ) définie sur , solution du système différentiel

est unique et qu'elle est donnée par :

Question 3 : Application lorsque et .
Déterminer la fonction matricielle et donner la solution du système différentiel