E3A Mathématiques 1 PSI 2000Sujet et corrigé

n et q sont des entiers naturels donnés.
M(n, q) désigne lensemble des matrices réelles ou complexes à n lignes et q colonnes.
I désigne un intervalle ouvert de ℝ et s un élément de I. Le réel 0 est supposé appartenir à lintervalle I.

Une fonction matricielle de type ( n, q ) définie sur I est une application M de I vers M(n, q), M = [m_(i, j)](1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ q) où, pour tout i de 1 à n et pour tout j de 1 à q, m_(i, j) est une application de I vers ℝ qui au réel t associe le réel m_(i, j)(t).

Soient M = [m_(i, j)](1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ q) et L = [l_(i, j)](1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ q) deux fonctions matricielles de type (n, q) définies sur I. La notation M = L signifie que pour tout i de 1 à n et pour tout j de 1 à q, m_(i, j) = l_(i, j) (égalité entre deux applications de I vers ℝ ).

La fonction matricielle M de type ( n, q ) définie sur I est continue en s (respectivement dérivable ou de classe C^k en s ) si chaque fonction réelle m_(i, j)(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ q) est continue en s (respectivement dérivable ou de classe C^k en s ) et la fonction matricielle dérivée est définie en s par :

et de même pour les dérivées dordre supérieur si elles existent.
La fonction matricielle M de type ( n, q ) définie sur I est continue sur I (respectivement dérivable ou de classe C^k sur I ) si elle est continue (respectivement dérivable ou de classe C^k ) en tout point de I.

Lintégrale définie de la fonction matricielle M continue sur I, entre les bornes α et β de I est la matrice réelle à n lignes et q colonnes définie par :

Le produit de deux matrices M_l et M_2 de M(n, n) est noté M_l.M_2.
Question 1 : α et β désignent deux éléments de 1 tels que α < β et C est une matrice de M(n, n). La fonction matricielle M de type ( n, n ) étant supposée continue sur I, montrer que :

Question 2 : Soient F = [f_(i, j)](1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) et G = [g_(i, j)](1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) deux fonctions matricielles dérivables de type ( n, n ) définies sur I. Montrer que le produit matriciel F.G définit une nouvelle fonction matricielle dérivable de type ( n, n ) sur I et que

Question 3: s désigne un élément de I.
Soit H = [h_(i, j)](1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) une fonction matricielle dérivable de type ( n, n ) définie sur I et telle que la matrice H(s) soit inversible, d'inverse H^(− 1)(s). Montrer que la fonction matricielle H^(− 1) est définie et dérivable sur un voisinage V de s et vérifie :

I_n désigne la matrice identité d'ordre n. Soit A une matrice réelle à n lignes et n colonnes admettant les valeurs propres (réelles ou complexes) λ_1, λ_2, …, λ_n, chacune apparaissant avec son ordre de multiplicité. Les matrices A_0, A_1, …, A_n sont définies par :

r_1, r_2, …, r_n désignent les applications de I dans ℝ (ou ℂ ) définies par :

Soit M la fonction matricielle de type (n, n) définie sur I par :

Question 1 : Déterminer la matrice M lorsque n = 1.
L'entier n est maintenant quelconque.
Question 2: Expliciter la matrice A_n.
Question 3 : Déterminer la matrice M(0).
Question 4 : Vérifier légalité suivante:

Question 5 : En déduire que

Question 6 : Déterminer une fonction matricielle Φ_A, dérivable de type ( n, n ) définie sur I et vérifiant :

Prouver lunicité de Φ_A et exprimer Φ_A en fonction de la matrice M.
Question 7 : Application numérique :
Déterminer Φ_A(t) lorsque A = (0, − 2; 1, 2).
Question 8 : α et β non nul sont deux réels et A = (α, − β; β, α).
Donner une interprétation géométrique de lapplication linéaire de ℝ^2 dans ℝ^2 représentée par la matrice Φ_A(t) dans une base orthonormée {i⃗, j⃗} de ℝ^2.

Dans cette partie, les preuves seront fondées sur la définition de la matrice Φ_A donnée en deuxième partie. Lentier n est quelconque, A et B sont deux matrices réelles à n lignes et n colonnes . u et v sont deux éléments de lintervalle I.
Question 1 : Prouver que Φ_A(u + v) = Φ_A(u) ⋅ Φ_A(v).
Question 2: Montrer que Φ_A(u) est inversible et donner son inverse.
Question 3 : A = (0, 1; 0, 0) et B = (0, 0; 1, 0). Comparer A ⋅ B et B ⋅ A. Calculer et comparer Φ_(A + B)(u) et Φ_A(u) ⋅ Φ_B(u).

Question 4 : Dans le cas où les matrices A et B sont permutables ( cest à dire A ⋅ B = B ⋅ A ), prouver que Φ_(A + B)(u) = Φ_A(u).Φ_B(u).

α est un élément de I. A est une matrice donnée dans M(n, n).
Question 1 : Dans cette question, pour tout i de 1 à n, et tout j de 1 à n, q_(i, j) est une application de classe C^1 de I^2 vers ℝ (qui associe au couple ( t, s ) de I^2 le réel q_(i, j)(t, s) ). Soit Q la fonction matricielle réelle à deux variables de type ( n, n ) définie sur I^2 par

Montrer l'égalité matricielle :

Il sera opportun d'introduire L, fonction matricielle réelle à deux variables de type ( n, n ) définie sur I^2 par

Question 2 : Soit, une fonction matricielle continue B, de type ( n, 1 ) définie sur I et une matrice D unicolonne à n lignes.
La fonction matricielle R à deux variables, de type (n, n) définie sur I^2 est donnée par

Montrer que la fonction matricielle Y de type ( n, 1 ) définie sur I, solution du système différentiel

est unique et qu'elle est donnée par :

Question 3 : Application lorsque A = (− 1, 1, 2; − 4, 3, 3; − 3, 1, 4), B(t) = (e^(− t); 0; 0) et D = (1; 1; 0).
Déterminer la fonction matricielle Φ_A et donner la solution du système différentiel