E3A Mathématiques 2 PSI 2000Sujet et corrigé

P désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (O, i⃗, j⃗), n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. A_1, A_2, ……, A_n sont n éléments 2 à 2 distincts de P dont les affixes respectives sont notées a_1, a_2, ……, a_n.
E est l'ensemble des points A_1, A_2, ……, A_n.
On note Γ(E) l'ensemble des points M de P n'appartenant pas à E et vérifiant la relation :

1^∘ Soit M un point de P, n'appartenant pas à E, d'affixe z. Montrer qu'il appartient à Γ(E) si, et seulement si, ∑_(k = 1)^n 1/(z − a_k) = 0.
2^∘ On considère le polynôme Q(X) défini par : Q(X) = ∏_(k = 1)^n(X − a_k). On note Q^′(X) son polynôme dérivé
a) On pose : R(X) = (Q^′(X))/(Q(X)). Déterminer la décomposition en éléments simples de R(X) dans l'ensemble des fractions rationnelles à coefficients complexes.
b) En déduire que Γ ( E ) est l'ensemble des points M de P dont l'affixe z vérifie : Q^′(z) = 0.
c) En déduire que, si p est le nombre d'éléments de Γ(E), on a : 1 ≤ p ≤ n − 1.
d) Dans le cas particulier où n = 2, préciser Γ(E).

Dans la suite de l'exercice, on suppose n ≥ 3.
3^∘ Soit r une rotation du plan P. Etablir que : r(Γ(E)) = Γ(r(E)).

On rappelle que E est l'ensemble des n sommets d'un polygone régulier si, et seulement si, E est invariant par une rotation d'angle (2π)/n.
4^∘ Montrer que, si E est l'ensemble des n sommets d'un polygone régulier, alors Γ(E) est réduit à un seul point que l'on précisera ( on pourra faire un raisonnement par l'absurde). 5^∘ Réciproquement, montrer que si Γ(E) est réduit à un seul point dont l'affixe est notée ω, alors E est l'ensemble des n sommets d'un polygone régulier ( on pourra commencer par déterminer Q^′(X) ).
6^∘ Dans cette question, on suppose n = 3, a_1 = α + iβ, a_2 = α − iβ, a_3 = − 2α où α et β sont des réels strictement positifs.
a) Déterminer les affixes des éléments de Γ(E).Vérifier les résultats établis aux questions 4^∘ et 5^∘.
b) On note ( x, y ) le couple des coordonnées d'un point M de P.

On suppose que : α√3 > β. Soit ( ε )l'ellipse de P d'équation : (x^2)/(α^2) + (3y^2)/(β^2) = 1.
i) Indiquer les coordonnées des foyers de ( ε ).
ii) Soit M_0(x_0, y_0) un point de ( ε ). Déterminer l'équation de la tangente en M_0 à l'ellipse ( ε ).
iii) Démontrer que l'ellipse ( ε ) est tangente aux trois côtés du triangle A_1 A_2 A_3 en des points qui sont les milieux de ces côtés.

Soit n un entier naturel, n ≥ 2. On note C l'ensemble des nombres complexes et E le C-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes.
O est la matrice nulle de E . Pour A élément de E , on désigne par tr(A), la trace de A.
Pour ( i, j ) élément de {1, 2, …., n}^2, on note E_(ij) la matrice de E dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne qui vaut 1 .
On rappelle que : ∀(i, j) ∈ {1, 2, ……, n}^2, ∀(r, s) ∈ {1, 2, ……, n}^2, E_(ij)E_(rs) = δ_(jr)E_(is)

1^∘ Montrer qu'il n'existe pas de norme ‖‖ définie sur E vérifiant :

2^∘ Soient λ_1, λ_2, ….., λ_n des éléments quelconques de C.
On considère les matrices X et Y suivantes :

Calculer XY et YX.
3^∘ Une application q de E vers [0, + ∞[ vérifiant :

est appelée semi-norme sur E .
Soit q une semi-norme sur E .
a) Montrer que q(O) = 0 et que pour tout A de E, q(− A) = q(A).
b) Etablir que pour A et B quelconques dans E on a :

4^∘ On dit qu'une semi-norme q définie sur E vérifie la propriété ( P ) si :

On considère l'application f de E vers [0, + ∞[ définie par : f(A) = |tr(A)|.
Montrer que f est une semi-norme sur E vérifiant ( P ).
5^∘ Soit q une semi-norme sur E vérifiant ( P ).
a) Soit i, j deux entiers naturels distincts et compris entre 1 et n.

Prouver que : q(E_(ij)) = 0.
b) Pour un élément A quelconque de E , on note a_(ij) le coefficient de A situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne. Montrer que : q(A) = q(∑_(i = 1)^n a_(ii)E_(ii))
c) Démontrer qu'il existe α réel positif tel que : q = αf.

n désigne un entier naturel non nul.
1^∘ Soit (ε_n)_(n ≥ 1) une suite décroissante de réels positifs qui converge vers 0 , et soit (v_n)_(n ≥ 1) une suite de réels. Pour n ≥ 1, on pose : V_n = ∑_(k = 1)^n v_k. On suppose que la suite (V_n)_(n ≥ 1) est bornée et on note M un majorant de la suite (|V_n|)_(n ≥ 1). Pour n ≥ 1, on pose : T_n = ∑_(k = 1)^n ε_k v_k.
a) Montrer que pour n ≥ 1 et pour p entier naturel, p ≥ 2, on a :

b) Etablir que pour n ≥ 2 et pour p entier naturel on a : |T_(n + p) − T_n| ≤ 2Mε_(n + 1).
c) En déduire que la suite (T_n)_(n ≥ 1) converge.
2^∘ Soit (c_n)_(n ≥ 1) une suite décroissante de réels positifs qui converge vers 0.

Pour x réel et n ≥ 1, on pose : U_n(x) = ∑_(k = 1)^n sinkx et S_n(x) = ∑_(k = 1)^n c_k sinkx
a) Soit λ un élément de ]0, π[ et I_λ = [λ, 2π − λ].
i) Etablir que pour tout xde]0, 2π[ : |U_n(x)| ≤ 1/(sin(x/2))
ii) Déduire de 1^∘ que la suite de fonctions (S_n)_(n ≥ 1) converge simplement sur ]0, 2π[ et qu'elle converge uniformément sur I_λ.
b) On suppose, dans cette question, que la suite de fonctions (S_n)_(n ≥ 1) converge uniformément sur [0, 2π].
i) Montrer que : lim_(n → + ∞)[S_(2n)(π/(4n)) − S_n(π/(4n))] = 0.
ii) En déduire : lim_(n → + ∞)(nc_(2n)) = 0. Montrer alors que : lim_(n → + ∞)(nc_n) = 0.
3^∘ Pour x réel et n ≥ 1, on pose : σ_n(x) = ∑_(k = 1)^n(sinkx)/k.
a) Etablir pour tout x réel, l'inégalité |sinx| ≤ |x| et pour tout x de [0, π/2], l'inégalité 2/πx ≤ sinx.
b) Soit x un élément de ]0, π [fixé et N l'entier naturel vérifiant :

Montrer que : 0 ≤ σ_N(x) ≤ π.
Utiliser le résultat démontré en 1^∘ b) pour justifier que, si n > N, on a :

c) Etablir que pour tout x de [0, 2π] et pour n ≥ 1 : |σ_n(x)| ≤ π + 2.
d) On suppose de plus dans cette question que la suite (nc_n)_(n ≥ 1) est décroissante et qu'elle converge vers 0 . Prouver que la suite de fonctions (S_n)_(n ≥ 1) converge uniformément sur [0, 2π].
4^∘ On note ln la fonction logarithme népérien.
On considère le cas particulier où c_1 = 2 et pour n ≥ 2, c_n = 1/(nln(n)).
a) Prouver que la suite de fonctions (S_n)_(n ≥ 1) converge simplement sur R. On note S sa limite.
b) Déterminer les coefficients de Fourier de S.