E3A Mathématiques 2 PSI 2001Sujet et corrigé

P désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗), k est un réel strictement positif. On note ( x, y ) le couple des coordonnées d'un point M de P. Soit ( γ ) l'hyperbole équilatère d'équation cartésienne : xy = k.
1^∘ On considère trois points A, B, C de (γ), deux à deux distincts, dont les abscisses sont notées a, b, c respectivement.
a) Déterminer les coordonnées ( α, β ) du centre de gravité G du triangle ABC.
b) Déterminer les coordonnées ( λ, μ ) de l'orthocentre H du triangle ABC.

Vérifier que H appartient à (γ).
2^∘ On suppose, dans cette question, que ABC est un triangle équilatéral.
a) Que peut-on dire de G et H ?
b) Montrer que a, b, c sont les racines du polynôme P(X) avec:

c) On appelle sommets de ( γ ) les points d'intersection de ( γ ) avec la droite d'équation : y = x. On suppose que H n'est pas l'un des sommets de (γ). Montrer que l'intersection du cercle circonscrit au triangle ABC avec (γ) contient un point D distinct de A, B, C. Préciser les coordonnées de D.
3^∘ Soit r un réel non nul et Q(X) le polynôme défini par :

a) Déterminer le signe du produit Q(0)Q(r). En déduire que Q(X) admet trois racines réelles deux à deux distinctes et non nulles notées r_1, r_2, r_3.
b) Soient R_1, R_2, R_3 les points de ( r ) d'abscisses respectives r_1, r_2, r_3.

Démontrer que le triangle R_1 R_2 R_3 est équilatéral.
4^∘ Donner une construction géométrique permettant d'obtenir tous les triangles équilatéraux dont les sommets appartiennent à (γ).

Soit f l'application définie sur ]0, + ∞[ × [0, + ∞[ par : (x, t) → f(x, t) = e^(− t^2√x)cos((t^3)/3).
1^∘ Pour x réel strictement positif fixé, montrer que l'application t → f(x, t) définie sur [0, + ∞[, est intégrable sur [0, + ∞[.
2^∘ Soit F l'application définie sur ]0, + ∞[ par :

a) Prouver que F est de classe C^1 sur ]0, + ∞[, et, pour x strictement positif, donner une expression de F^′(x) sous forme d'une intégrale.
b) Montrer que F^′ est aussi définie sur ]0, + ∞[ par:

En déduire que F est de classe C^2 sur ]0, + ∞[ et donner une expression de F^(′′)(x) sous forme d'une intégrale.
3^∘ Montrer que F est solution sur ]0, + ∞ [de l'équation différentielle suivante :

4^∘ Déterminer la limite de F(x) lorsque x tend vers + ∞.
5^∘ On admet le résultat suivant : ∫_0^(+ ∞)e^(− u^2)du = (√π)/2.
a) Déterminer un réel K tel que pour tout réel u :

b) Justifier l'existence du réel J défini par : J = ∫_0^(+ ∞)e^(− u^2)u^6 du.

Pour x réel strictement positif, majorer l'intégrale : Extra \left or missing \right en \right. fonction de J et de x.
c) En déduire que F(x) est équivalent à (√π)/(2x^(1/4)) lorsque x tend vers + ∞.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
R est le corps des nombres réels, C celui des nombres complexes et n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.K = R ou K = C. On note E le K -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K . O est la matrice nulle de E, I est la matrice identité de E. Pour M élément de E, ^t M et tr(M) désignent respectivement la matrice transposée de M et la trace de M. On note F le K -espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne et à coefficients dans K. Pour Y élément de F, ^t Y désigne la matrice transposée de Y.

Soient A et B deux éléments de E et f l'endomorphisme de E défini par :

Première partie. Dans cette partie K = C.
1^∘ On suppose que A et B ont une valeur propre commune notée λ.
a) Justifier l'existence de Y et Z éléments non nuls de F vérifiant :

b) Prouver que Y^t Z est un élément non nul de E. Calculer f(Y^t Z).
2^∘ On suppose qu'il existe M_0 élément non nul de E tel que : f(M_0) = O.
a) Pour k entier naturel, prouver que : A^k M_0 = M_0 B^k. En déduire que pour tout polynôme P à coefficients complexes on a :

b) Soit P_A le polynôme caractéristique de A. Que peut-on dire de P_A(A) ?

En déduire que P_A(B) n'est pas inversible dans E, et ensuite que A et B ont une valeur propre commune.
3^∘ Démontrer que f est une bijection de E sur E si et seulement si A et B n'ont aucune valeur propre en commun.
4^∘ En déduire que μ est une valeur propre de f si et seulement s'il existe α valeur propre de A et β valeur propre de B telles que : μ = α − β.

Deuxième partie. Dans cette partie K = R.
1^∘ Pour M et N appartenant à E, on pose: ⟨M|N⟩ = tr(^t MN). Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
Dans la suite de l'exercice, E est muni de ce produit scalaire.
2^∘ On note f^∗ l'endomorphisme adjoint de f. Montrer que :

3^∘ a) Soit D appartenant à E vérifiant : ∀M ∈ E, DM = MD. Prouver qu'il existe a dans R tel que : D = aI.
b) En déduire que f est l'application nulle si et seulement s'il existe a dans R tel que :

c) Démontrer que l'endomorphisme f est autoadjoint si et seulement si les matrices A et B sont symétriques.
4^∘ a) On suppose que B est une matrice orthogonale et antisymétrique. Montrer que n est un entier pair.
b) On suppose de plus que A est une matrice orthogonale et symétrique. Démontrer que l'endomorphisme 1/(√2)f est un endomorphisme orthogonal de E.
5^∘ On considère le cas particulier : n = 2. On pose:

Déterminer la matrice de f dans la base b de E , où b = (E_(11), E_(12), E_(21), E_(22)).
Vérifier les résultats démontrés aux questions 3^∘b ), 3^∘c ) et 4^∘b ).