E3A Mathématiques 1 PSI 2001Sujet

On désigne par ℝ le corps des réels et par ℕ l'ensemble des entiers naturels. a et b désignent deux réels tels que a < b. On pose Ω = [a, b]^2 ⊂ ℝ^2.

On désigne par C([a, b], ℝ) l'ensemble des fonctions continues définies sur [a, b], à valeurs réelles.
On désigne par C(Ω, ℝ) l'ensemble des fonctions continues définies sur Ω, à valeurs réelles .
On admet que tout élément K de C(Ω, ℝ) est borné sur Ω.
Pour toute fonction f, élément de C([a, b], ℝ), on note ‖f‖ = ⊟∫_3^b(f(t))^2 dtθ^(1/2).
Première partie
I-1 Soit K ∈ C(Ω, ℝ) on note ‖K‖ = E/G∬_Ω(K(x, y))^2 dxdyE^(1/2).
Montrer que l'application de C(Ω, ℝ) dans ℝ^+qui à K associe ‖|K‖| est une norme.

I-3 Soient K ∈ C(Ω, ℝ) et f ∈ C([a, b], ℝ), on pose g(y) = ∫_1^b K(x, y)f(x)dx.
Montrer que g ∈ C([a, b], ℝ) et que ‖g‖ ≤ ‖K‖‖f‖.

Dans toute la suite du problème on choisit a = 0, b = 1 et on suppose que K ∈ C(Ω, ℝ) vérifie :

Soit f un élément donné de C([0, 1], ℝ) et soit (x, y) un élément fixé de Ω.

II-1 On pose K_1(x, y) = K(x, y) et par récurrence pour n entier naturel strictement positif

Montrer que l'on a : K_n ∈ C(Ω, ℝ) et K_n(x, y) = 0 pour y > x.
II-2 Soit n un entier naturel strictement positif, montrer que:

II-3 On pose Φ_1(x) = f(x) + ∫_0^x K(x, t)f(t)dt et par récurrence

On pose: Ψ_0(x) = f(x); Ψ_(n + 1)(x) = ∫_0^r K(x, t)Ψ_n(t)dt, pour n entier naturel
Montrer que Φ_n(x) = ∑_(j = 0)^n Ψ_j(x).
II-4 Montrer que Ψ_j(x) = ∫_0^x K_j(x, t)f(t)dt, pour tout entier naturel strictement positif j.
II-5 Montrer que (K_2(x, y))^2 ≤ (A(x))^2(B(y))^2.
II-6 On pose F_1(x, y) = ∫_0^x(A(z))^2 dz si y ≤ x et par récurrence pour n ≥ 2

Montrer que pour tout n ≥ 1, F_n est une fonction continue sur Ω et que F_n(x, y) = 0 si y > x.
II-7 Montrer que F_n(x, y) = 1/(n!)(F_1(x, y))^n.
II-8 Montrer que (K_(n + 2)(x, y))^2 ≤ (A(x))^2(B(y))^2 F_n(x, y).

III-1 Soit n un entier naturel strictement positif.
x étant fixé dans [0, 1], on désigne par V_n la fonction définie par V_n(t) = K_n(x, t)
De même, y étant fixé dans [0, 1], on désigne par U_n la fonction définie par U_n(t) = K_n(t, y).
Montrer que les séries de fonctions de terme général U_n et V_n sont uniformément convergentes sur [ 0,1 ].
III-2 On pose H(x, y) = − ∑_(n = 0)^∞K_(n + 1)(x, y). Montrer que H(x, y) vérifie :

III-3 On pose Φ_((f))(x) = f(x) − ∫H(x, t)f(t)dt. Justifier l'existence de Φ_((f)).

Montrer que Φ_((f)) est un élément de C([0, 1], ℝ).
III-4 Montrer que la suite de fonctions Φ_n converge vers Φ_((f)).
III-5 Soient Λ et g deux éléments de C([0, 1], ℝ), vérifiant

Montrer que cette relation équivaut à Λ(u) − ∫_0^u K(u, t)Λ(t)dt = g(u).
III-6 Soit Φ ∈ C([0, 1], ℝ) qui vérifie pour tout u ∈ [0, 1] : Φ(u) = ∫K(u, t)Φ(t)dt.
Montrer que ∀u ∈ [0, 1], Φ(u) = 0
Les parties IV et V sont indépendantes.

Dans toute cette partie on pose K(x, y) = = (x − y)e^(x − y), si y ≤ x; 0, si y > x et Ω = [0, 1]^2
IV-1 Calculer K_n(x, y).
IV-2 En déduire H(x, y).
IV-3 Soit f ∈ C([0, 1], ℝ) une fonction connue. Trouver Φ_((f)) ∈ C([0, 1], ℝ) qui vérifie :

IV-4 On pose f(x) = e^x. Calculer Φ_((f)).
Cinquième partie Second exemple d'application.
Soit q un entier naturel strictement positif, on se donne q fonctions a_i ∈ C([0, 1], ℝ), i ∈ {1, …, q} et F ∈ C([0, 1], ℝ), ainsi que q réels c_i, i ∈ {0, …, q − 1}.
On cherche à résoudre le problème suivant :
(P) Trouver une fonction u vérifiant ∀x ∈ [0, 1] : ∇u^((q))(x) + a_1(x)u^((q − 1))(x) + ⋯ + a_q(x)u(x) = F(x); 且 u(0) = 𝒞_0, u^′(0) = 𝒞_1, ⋯, u^((q − 1))(0) = 𝒞_(q − 1).

On pose log_2 K(x, y) = ∑_(k = 1)^q a_k(x)((x − y)^(k − 1))/((k − 1)!) si y ≤ x et Φ(x) = u^((q))(x).
Calculer Φ(x) + ∫_∫^x K(x, y)Φ(y)dy. En déduire une méthode de résolution du problème ( P ).