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E3A Mathématiques 1 PSI 2002Sujet et corrigé

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e4a (PSI) 2002
Epreuve de Mathématiques 1
durée 4 heures
Les calculatrices sont interdites.
Dans tout le problème, a et b désignent deux réels positifs tels que : 0 < a < b.

Préliminaire.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction ζ qui à x ∈ R associe ζ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^x).
On admettra dans tout le problème que ζ(2) = (π^2)/6.

Partie 1.

Pour tout n ∈ N^∗, on définit la fonction u_n de R_+^∗ dans R par :
∀x > 0, u_n(x) = x/n − ln(1 + x/n)

Question 1.

1.1. Vérifier que ∀n ∈ N^∗, ∀x > 0, u_n(x) ≥ 0.
1.2. Montrer que la série de fonctions de terme général u_n converge simplement sur ]0, + ∞[.
Dans toute la suite du problème, ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n est notée S et γ désigne la valeur de S(1).

Question 2.

2.1. Prouver que S est dérivable sur [a, b].
2.2. En déduire que S est dérivable sur ]0, + ∞[ et que :
∀x > 0, (dS)/(dx)(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/n − 1/(n + x))

Question 3.

Soit p ∈ N^∗. Montrer que lorsque p tend vers l'infini : ∑_(n = 1)^p 1/n = lnp + γ + o(1).

Question 4.

4.1. Prouver que :
∑_(n = 1)^p(u_n(x + 1) − u_n(x)) = ∑_(n = 1)^p 1/n + ln(1 + x) − ln(p + 1 + x).
4.2. En déduire que:
∀x > 0, S(x + 1) = S(x) + γ + ln(1 + x)

Question 5.

Soit φ la fonction définie de R_+^∗ dans R telle que :
∀x > 0, φ(x) = 1/xexp(− γx + S(x))
5.1. Montrer que ∀x > 0, φ(x + 1) = xφ(x).
5.2. Vérifier que φ est dérivable sur ]0, + ∞[.
Calculer (dφ)/(dx)(x) pour x > 0. Que vaut (dφ)/(dx)(1) ?

Question 6.

Pour n ≥ 1, soit φ_n la fonction de R_+^∗ dans R telle que :
∀x > 0, φ_n(x) = (n^x n!)/(x(x + 1)…(x + n))
Montrer que ∀x > 0, ln(φ_n(x)) tend vers S(x) − xγ − lnx quand n tend vers + ∞.

Question 7.

On note π_p = ∏_(n = 1)^p(exp(x/n))/(1 + x/n)(p entier naturel > 0).
7.1. Prouver la convergence de la suite (π_p)_(p ≥ 1) vers une limite L(x).
7.2. En déduire que : ∀x > 0, φ(x) = (L(x))/xexp(− xγ).

Partie 2.

Soit Γ la fonction de la variable réelle x définie par : Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)exp(− t)dt.

Question 1.

1.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction Γ.
1.2. Calculer Γ(1).
1.3. Montrer que ∀x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x).

Question 2.

Pour n entier naturel ≥ 1, on définit la fonction g_n de R_+^∗ dans R par :
t → {(1 − t/n)^n, si 0 ≤ t < n; 0, si t ≥ n
2.1. Prouver que: ∀t ≥ 0, exp(− t) ≥ 1 − t.
En déduire que: ∀t ≥ 0, ∀n ≥ 1, 0 ≤ g_n(t) ≤ exp(− t).
2.2. Montrer alors que:
∀x > 0, lim_(n → + ∞)∫_0^n(1 − t/n)^n t^(x − 1)dt = Γ(x)

Question 3.

Pour tout entier naturel n ≥ 1, on définit la fonction I_n de R dans R par :
I_n(x) = ∫_0^1(1 − t)^n t^(x − 1)dt
3.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction I_n.
3.2. Prouver que :
∀x > 0, ∀n ≥ 1, ∫_0^n(1 − t/n)^n t^(x − 1)dt = n^x I_n(x)
3.3. Trouver une relation entre I_n(x) et I_(n − 1)(x + 1) et en déduire que :
∀x > 0, Γ(x) = φ(x)

Partie 3.

Dans toute cette partie, x ∈ ]0, 1[.

Question 1.

Vérifier l'existence de ∫_0^(+ ∞)exp(− t)ln^2 tdt.

Question 2.

Soit n ∈ N. On définit les fonctions :
v_n de R_+^∗ dans R par: ∀t > 0, v_n(t) = (x^n)/(n!)exp(− t)(lnt)^n
et T_n de ]1, + ∞[ dans R par: ∀u > 1, T_n(u) = ∫_(1/u)^u v_n(t)dt.
2.1. Pour u > 1 donné, montrer que la série de fonctions de terme général v_n converge normalement sur [1/u, u].
2.2. Justifier que: ∀u > 1, ∑_(n = 0)^(+ ∞)T_n(u) = ∫_(1/u)^u(∑_(n = 0)^(+ ∞)v_n(t))dt.

Question 3.

On pose, pour n ∈ N :
a_n = (x^n)/(n!)∫_0^1 exp(− t)|lnt|^n dt et b_n = (x^n)/(n!)∫_1^(+ ∞)exp(− t)(lnt)^n dt
3.1. Montrer que :
∀p ≥ 0, ∑_(n = 0)^p(a_n + b_n) ≤ ∫_0^(+ ∞)exp(− t + x|lnt|)dt
3.2. En déduire que la série de fonctions de terme général T_n converge normalement sur ]1, + ∞[.

Question 4.

4.1. Vérifier que ∀x ∈ ]0, 1[, Γ(1 + x) = ∫_0^(+ ∞)(∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n!)exp(− t)(lnt)^n)dt.
4.2. Prouver alors que :
∀x ∈ ]0, 1[, Γ(1 + x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(n!)(∫_0^(+ ∞)exp(− t)(lnt)^n dt)

Question 5.

5.1. A l'aide des parties 1 et 2 , vérifier que :
((dΓ)/(dx)(x))/(Γ(x)) = − γ − 1/x + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/n − 1/(n + x))
puis que ((dΓ)/(dx)(x))/(Γ(x)) = − γ − 1/x + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(∑_(k = 1)^(+ ∞)((− 1)^(k + 1))/(n^(k + 1))x^k).
5.2. En admettant que l'on peut intervertir dans la formule précédente les deux sommations, prouver que:
∀x ∈ ]0, 1[, Γ(1 + x) = exp(− γx + ∑_(k = 2)^(+ ∞)(− 1)^k(x^k)/kζ(k))
5.3. Démontrer alors le résultat : ∫_0^(+ ∞)exp(− t)ln^2 tdt = γ^2 + (π^2)/6.

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