Version interactive avec LaTeX compilé

E3A Mathématiques 1 PSI 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile

0.0(0 votes)

Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables

🔗 Explorer

E3A PSI E3A 2002 PSI Maths Maths 2002

2025_08_29_f2da2c34805095aa7ac2g

e4a (PSI) 2002
Epreuve de Mathématiques 1
durée 4 heures

Les calculatrices sont interdites.
Dans tout le problème,

désignent deux réels positifs tels que :

Préliminaire.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

qui à

associe

.
On admettra dans tout le problème que

Partie 1.

Pour tout

, on définit la fonction

dans

par :

Question 1.

1.1. Vérifier que

.
1.2. Montrer que la série de fonctions de terme général

converge simplement sur

Dans toute la suite du problème,

est notée

désigne la valeur de

Question 2.

2.1. Prouver que

est dérivable sur

.
2.2. En déduire que

est dérivable sur

et que :

Question 3.

Soit

. Montrer que lorsque

tend vers l'infini :

Question 4.

4.1. Prouver que :

4.2. En déduire que:

Question 5.

Soit

la fonction définie de

dans

telle que :

5.1. Montrer que

.
5.2. Vérifier que

est dérivable sur

Calculer

pour

. Que vaut

Question 6.

Pour

, soit

la fonction de

dans

telle que :

Montrer que

tend vers

quand

tend vers

Question 7.

On note

entier naturel

.
7.1. Prouver la convergence de la suite

vers une limite

.
7.2. En déduire que :

Partie 2.

Soit

la fonction de la variable réelle

définie par :

Question 1.

1.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

.
1.2. Calculer

.
1.3. Montrer que

Question 2.

Pour

entier naturel

, on définit la fonction

dans

par :

2.1. Prouver que:

En déduire que:

.
2.2. Montrer alors que:

Question 3.

Pour tout entier naturel

, on définit la fonction

dans

par :

3.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

.
3.2. Prouver que :

3.3. Trouver une relation entre

et en déduire que :

Partie 3.

Dans toute cette partie,

Question 1.

Vérifier l'existence de

Question 2.

Soit

. On définit les fonctions :

dans

par:

dans

par:

.
2.1. Pour

donné, montrer que la série de fonctions de terme général

converge normalement sur

.
2.2. Justifier que:

Question 3.

On pose, pour

3.1. Montrer que :

3.2. En déduire que la série de fonctions de terme général

converge normalement sur

Question 4.

4.1. Vérifier que

.
4.2. Prouver alors que :

Question 5.

5.1. A l'aide des parties 1 et 2 , vérifier que :

puis que

.
5.2. En admettant que l'on peut intervertir dans la formule précédente les deux sommations, prouver que:

5.3. Démontrer alors le résultat :