E3A Mathématiques 2 PC 2001

Soient deux nombres complexes et tels que et .
Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on considère la matrice de définie par :

dont le terme général est égal à 0 si , à si et à si .
. Soit une valeur propre de la matrice . Déterminer la dimension du sousespace propre associé à .
. Déterminer les valeurs propres de la matrice . Que peut-on en déduire ?
. On n'utilisera pas dans cette question les résultats des questions précédentes.
Soit l'application de dans définie par:

où est la matrice de dont le terme général est .
(a) Montrer que pour tout complexe l'application de dans définie par est une fonction polynôme en de degré inférieur ou égal à 1 .
(b) Calculer et et en déduire ainsi que le polynôme caractéristique de la matrice .
(c) Retrouver le résultat de la question .

Soit l'application de dans définie par :

Partie A. Changement de variable.

On pose .
. (a) Montrer qu'il existe une unique fonction rationnelle telle que pour tout réel (on confondra dans la suite la fonction et l'unique fraction rationnelle qui lui est associée).
(b) Décomposer en éléments simples dans le corps des fractions rationnelles.
(c) Décomposer en une somme de deux fonctions développables en série entière, l'une de la variable , l'autre de la variable .
. (a) Déterminer des coefficients vérifiant l'égalité pour tout réel .
(b) Expliciter un développement en série de Fourier de .

Pour tout entier naturel on note :

. Calculer et .
. Calculer et en déduire une relation de récurrence entre et .
. Calculer en fonction de et comparer au résultat de la partie précédente.

Soit une fonction de classe de dans et la fonction de dans définie par :

où ch représente la fonction cosinus hyperbolique .
. (a) Calculer et en fonction de et .
(b) Calculer et en fonction de et .
. Expliciter sous une forme simple les fonctions et telles que :

. On pose .
(a) Vérifier que la relation se réduit à une équation différentielle du second ordre vérifiée par la fonction de la seule variable .
(b) Intégrer cette équation différentielle et donner les solutions de l'équation aux dérivées partielles en précisant le domaine de définition de ces solutions.