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E3A Mathématiques 2 PC 2015

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsRéductionSéries entières (et Fourier)
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Banque
E3A
Année
2015
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2015PC MathsMaths 2015
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 PC

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans tout le problème, on note tan la fonction tangente.
Etant donnés un entier naturel et une fonction de classe sur un intervalle ouvert , on note la dérivée -ième de sur . La notation désigne .

Partie IA .

  1. Quelle est la période de la fonction ?
  2. Représenter la fonction tan sur l'intervalle .
  3. Démontrer l'existence d'une suite de polynômes telle que :
  • ,
  • et pour tout entier naturel , dérivée -ième de la fonction tan, vérifie:
On explicitera une relation de récurrence vérifiée par les polynômes et .
4. Expliciter les polynômes .
5. Soit . Démontrer que les coefficients du polynôme sont des entiers naturels. Quel est le degré du polynôme ?
6. Justifier qu'il existe une unique suite de nombres entiers naturels telle que:
On citera précisément le théorème utilisé.

Partie IB.

Soit un intervalle ouvert de tel que et symétrique par rapport à 0 . Soit une fonction de la variable réelle de classe sur . Pour tout entier naturel non nul , on note sa dérivée -ième et la fonction définie pour par :
On suppose que est impaire et que pour tout entier naturel non nul et tout nombre réel dans tel que .
7. Soit . Pour tout entier naturel non nul , justifier l'égalité :
  1. Soit tel que .
    (a) Démontrer que la suite est convergente.
    (b) Soient et un entier naturel non nul.
    i. Justifier l'égalité :
ii. En déduire que :
iii. Démontrer que :
(c) En déduire que pour tout dans ,
On justifiera précisément la convergence de la série.
9. La suite ayant été définie dans la question IA6, démontrer que :
  1. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série entière ? Justifier votre réponse.

Partie II A.

Soit un entier naturel . On note le -espace vectoriel formé par l'ensemble des polynômes à coefficients dans de degré . Pour tout polynôme dans , on note son polynôme dérivé.
Pour tout dans , on note l'application de la variable réelle définie par :
  1. Calculer , pour .
  2. Vérifier que pour tout dans est une application polynomiale de degré .
  3. Démontrer que , l'application qui associe à dans est un endomorphisme de .
  4. Ecrire la matrice de sur la base .
  5. Démontrer que est un automorphisme de .
  6. L'endomorphisme est-il diagonalisable ? Justifier la réponse.
  7. Soit dans .
    (a) Justifier qu'il existe un polynôme dans tel que .
    (b) Démontrer que .
    (c) Démontrer que le polynôme dérivé du polynôme vérifie .

Partie II B.

  1. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes telle que :
    (a) ,
    (b) ,
    (c) tel que .
  2. Expliciter les polynômes et .
  3. Pour , démontrer que est un polynôme unitaire de degré .
  4. Pour tel que , démontrer l'égalité .
  5. Soit . Démontrer que vérifie l'équation :
On pourra utiliser l'unicité de la suite définie par les conditions de la question IIB9.
13. Pour un entier naturel , démontrer que est l'unique polynôme dans tel que .
Dans toute la suite, on note , pour tout entier naturel . Ainsi, .
14. Expliciter les valeurs de et .
15. On suppose . Démontrer que , pour tout entier naturel impair tel que .
16. Soit . Démontrer l'égalité :
  1. En déduire que pour tout entier ,
  1. Expliciter un programme en python qui permet de calculer .

Partie III .

Dans cette partie, on considère la série entière
On admet que la série entière à un rayon de convergence . On note son disque de convergence.
  1. Démontrer que pour tout dans
  2. Soit la fonction définie par :
Démontrer qu'il existe un nombre réel , tel que admet un développement en série entière sur le disque de centre 0 et de rayon . Exprimer les coefficients de ce développement en série entière en fonction de .
3. En utilisant l'égalité (qu'on justifiera)
déterminer pour tout entier naturel , une expression de en fonction de .
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