L'épreuve est constituée d'un problème dont les trois parties sont relativement indépendantes.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

I.1) (a) Calculer pour , si puis .
(b) Montrer que est une application continue sur et établit une bijection de sur un intervalle à préciser.
(c) Montrer que est développable en série entière sur et donner son développement
I.2) Pour , soit .
(a) Montrer que est développable en série entière et donner son développement.
(b) Justifier l'égalité :
I.3) (a) Pour tout , justifier l'existence de .
(b) On pose . Justifier l'égalité :
(c) Montrer que est de classe sur , donner une relation entre et pour et justifier que :
I.4) (a) Pour et , soit .

Pour tout , justifier l'existence de et prouver que, pour tout
(b) Prouver que la suite de fonctions converge uniformément vers sur .
(c) En admettant que , montrer que :

I.5) Soient et . En utilisant , calculer .
I.6) (a) Montrer que, pour tout , on a : , puis que .
(b) Au moyen d'une intégration par parties, prouver que est intégrable sur et

II.1) (a) Pour , montrer l'existence de
(b) Justifier que . En déduire la valeur de .
II.2) On considère l'espace vectoriel des polynômes réels de degré .

À tout , on associe tel que: .
(a) Montrer que est un endomorphisme de et écrire sa matrice dans la base .
(b) Étudier si est diagonalisable dans .
II.3) Soit et l'espace vectoriel des polynômes réels de degré . On note l'endomorphisme de associant à tout polynôme son polynôme dérivé .
(a) Soit et . Déterminer des réels tels que .

Indication : On pourra citer et utiliser une formule de Taylor.
(b) À tout , on associe tel que: .

Montrer que est un endomorphisme de et déterminer des réels tels que pour tout on ait : .
(c) Déterminer les éléments propres de (valeurs propres et vecteurs propres).
II.4) Soit , une fonction continue et bornée. Déterminer solution de l'équation différentielle sur .
Justifier que la solution générale est de la forme : , avec
II.5) Soit continue et bornée et soit .
(a) On définit par: .

Justifier qu'alors , et que est de classe sur en précisant en fonction de et .
(b) En supposant non nulle, déterminer s'il existe tel que .
(c) Montrer qu'en général, est bornée sur et majorer au moyen de .
(d) Montrer que si tend vers 0 en , alors aussi.

Indication : on vérifiera que si pour , alors pour .
II.6) (a) Pour tout réel , justifier l'existence et calculer .
(b) Soit et le sous-espace vectoriel de engendré par . Montrer que (où défini ci-dessus) définit un endomorphisme de et écrire sa matrice dans la base ( ). est-elle diagonalisable dans ?

On s'intéresse dans cette partie à l'équation différentielle : .
III.1) On suppose qu'il existe une solution développable en série entière de cette équation différentielle. On note alors pour tout où est le rayon de convergence et une suite réelle.
(a) Déterminer alors une relation entre et , ainsi qu'une relation entre et pour tout .
(b) Pour une telle suite , montrer qu'il existe telle que: . En déduire qu'une telle solution existe et que de plus .
III.2) On souhaite résoudre ici cette équation différentielle sur l'intervalle et l'on note :

(a) Pour tout , on pose pour tout .

Montrer que si et seulement si vérifie :

(b) Déterminer les telles que :

(c) Déterminer les telles que :

(d) En déduire l'expression des fonctions vérifiant ( ) de III.2.(a), en utilisant la fonction définie pour par : On utilisera et .
(e) Donner alors l'expression de la solution générale .
III.3) (a) Sachant que quand avec , déterminer les solutions ayant une limite finie en 0 .
Exprimer alors ces solutions en utilisant la fonction de la partie et reliée à par :
pour (vu en I.3.)(c)).
(b) Sachant que est développable en série entière sur , donner l'expression des solutions de la question III. 1) : on exprimera en fonction de et pour tout .
Comment pourrait-on alors obtenir une expression des suites de III. 1)?