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E3A Mathématiques 2 PC 2018

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
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Banque
E3A
Année
2018
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2018PC MathsMaths 2018
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 PC

Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L'objet de ce problème est d'étudier les éventuelles solutions de l'équation :
où est fixé et est l'inconnue.

Partie I. Etude de l'équation ( )

  1. On se fixe, dans cette question, un réel quelconque.
    (a) Montrer que si , l'équation ( ) admet une unique solution .
    (b) Montrer que si , l'équation admet exactement deux solutions et vérifiant et .
    (c) Montrer que si , l'équation ( ) admet une unique solution dont on donnera la valeur.
    (d) Montrer que si , l'équation ( ) n'admet pas de solution.
  2. Illuster sur quatre graphiques différents les cas où , et (on représentera la fonction logarithme ainsi que la droite d'équation ).

Partie II. Etude d'une équation fonctionnelle

Dans cette partie on s'intéresse à l'étude de l'équation fonctionnelle :
où l'inconnue est une fonction continue sur .
  1. Montrer qu'il existe exactement deux fonctions constantes sur , que l'on précisera, solutions de .
  2. Soit une solution de ( ). Montrer que :
  1. Soit une solution de vérifiant .
    (a) Donner la valeur de et montrer que: .
    (b) Montrer que
(c) Montrer que
(d) Déduire des questions précédentes que
(e) Soit . Montrer que la suite , définie par pour tout , converge vers ( désignant la fonction partie entière).
(f) Conclure que

Partie III. Etude d'une suite de polynômes

On considère pour la suite de ce problème la suite de polynômes définie par , pour :
1.(a) Expliciter les polynômes et .
(b) Donner la valeur de pour tout .
2. Montrer que
  1. En déduire que
(on pourra procéder par récurrence sur ).

Partie IV. Retour sur l'équation ( )

Dans cette partie on note la plus petite solution, si elle existe, de l'équation ( ) .
1.(a) Montrer que pour .
(b) Rappeler la formule de Stirling puis montrer que, pour et fixés, la série numérique converge absolument si et seulement si .
2. Dans cette question on se fixe un réel de et on note la fonction définie sur par :
(a) Montrer que est continue sur .
(b) Rappeler le résultat de cours sur le produit de Cauchy de deux séries.
(c) En utilisant les résultats de la partie III., montrer que est solution de et en déduire :
(d) Montrer que est de classe sur et que :
(e) En calculant de deux façons différentes, montrer que est solution de .
3. On note la fonction définie sur par .
(a) Montrer que est de classe sur et monotone sur .
(b) Expliciter , l'image de l'intervalle par la fonction .
(c) Conclure que
  1. Soit un réel tel que . Montrer que l'équation , d'inconnue , admet une unique solution et que
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