E3A Mathématiques 2 PSI 2001

désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé est un réel strictement positif. On note ( ) le couple des coordonnées d'un point de . Soit ( ) l'hyperbole équilatère d'équation cartésienne : .
On considère trois points de , deux à deux distincts, dont les abscisses sont notées respectivement.
a) Déterminer les coordonnées ( ) du centre de gravité du triangle .
b) Déterminer les coordonnées ( ) de l'orthocentre du triangle .

Vérifier que appartient à .
On suppose, dans cette question, que est un triangle équilatéral.
a) Que peut-on dire de et ?
b) Montrer que sont les racines du polynôme avec:

c) On appelle sommets de ( ) les points d'intersection de ( ) avec la droite d'équation : . On suppose que n'est pas l'un des sommets de . Montrer que l'intersection du cercle circonscrit au triangle avec contient un point distinct de . Préciser les coordonnées de .
Soit un réel non nul et le polynôme défini par :

a) Déterminer le signe du produit . En déduire que admet trois racines réelles deux à deux distinctes et non nulles notées .
b) Soient les points de ( ) d'abscisses respectives .

Démontrer que le triangle est équilatéral.
Donner une construction géométrique permettant d'obtenir tous les triangles équilatéraux dont les sommets appartiennent à .

Soit l'application définie sur par : .
Pour réel strictement positif fixé, montrer que l'application définie sur , est intégrable sur .
Soit l'application définie sur par :

a) Prouver que est de classe sur , et, pour strictement positif, donner une expression de sous forme d'une intégrale.
b) Montrer que est aussi définie sur par:

En déduire que est de classe sur et donner une expression de sous forme d'une intégrale.
Montrer que est solution sur [de l'équation différentielle suivante :

Déterminer la limite de lorsque tend vers .
On admet le résultat suivant : .
a) Déterminer un réel tel que pour tout réel :

b) Justifier l'existence du réel défini par : .

Pour réel strictement positif, majorer l'intégrale : en \right. fonction de et de .
c) En déduire que est équivalent à lorsque tend vers .

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
R est le corps des nombres réels, C celui des nombres complexes et est un entier naturel supérieur ou égal à ou . On note E le K -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans K . est la matrice nulle de est la matrice identité de E. Pour élément de et désignent respectivement la matrice transposée de et la trace de . On note F le K -espace vectoriel des matrices à lignes et une colonne et à coefficients dans K. Pour élément de désigne la matrice transposée de .

Soient et deux éléments de E et l'endomorphisme de E défini par :

Première partie. Dans cette partie .
On suppose que et ont une valeur propre commune notée .
a) Justifier l'existence de et éléments non nuls de F vérifiant :

b) Prouver que est un élément non nul de E. Calculer .
On suppose qu'il existe élément non nul de E tel que : .
a) Pour entier naturel, prouver que : . En déduire que pour tout polynôme à coefficients complexes on a :

b) Soit le polynôme caractéristique de . Que peut-on dire de ?

En déduire que n'est pas inversible dans E, et ensuite que et ont une valeur propre commune.
Démontrer que est une bijection de E sur E si et seulement si et n'ont aucune valeur propre en commun.
En déduire que est une valeur propre de si et seulement s'il existe valeur propre de et valeur propre de telles que : .

Deuxième partie. Dans cette partie .
Pour et appartenant à E, on pose: . Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
Dans la suite de l'exercice, E est muni de ce produit scalaire.
On note l'endomorphisme adjoint de . Montrer que :

a) Soit appartenant à E vérifiant : . Prouver qu'il existe dans R tel que : .
b) En déduire que est l'application nulle si et seulement s'il existe dans R tel que :

c) Démontrer que l'endomorphisme est autoadjoint si et seulement si les matrices et sont symétriques.
a) On suppose que est une matrice orthogonale et antisymétrique. Montrer que est un entier pair.
b) On suppose de plus que est une matrice orthogonale et symétrique. Démontrer que l'endomorphisme est un endomorphisme orthogonal de E.
On considère le cas particulier : . On pose:

Déterminer la matrice de dans la base de E , où .
Vérifier les résultats démontrés aux questions ), ) et ).