Les trois parties du problème ne sont pas indépendantes.

La fonction étudiée tout au long du problème est introduite dans la partie II.
On rappelle que ch et que sh pour tout réel .

. Soit un entier . Montrer que la fonction est intégrable sur .

On note .
. Donner la valeur de (on pourra utiliser l'égalité ).
. Montrer que la fonction est intégrable sur .

On note .
. (a) Montrer que .
(b) En déduire que .
. Montrer que .

Soit un entier . Pour tout réel dans , on pose :

. (a) Pour tout dans , montrer que .
(b) Si , montrer que , où est une suite tendant vers 0 .
. En déduire la convergence de la série de terme général .

On note la somme de la série de terme général .
. (a) Montrer l'existence d'une constante telle que . Expliciter une telle constante.
(b) La suite de fonctions converge-t-elle uniformément sur ?

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument est un nombre complexe avec et réels, on désigne par sa partie imaginaire, c'est-à-dire .
. (a) Soit . Déterminer le tableau de variations de la fonction définie pour .
(b) Montrer que la fonction est intégrable sur .
(c) Établir alors que .
(d) En déduire que .
(e) Montrer que .
(f) En comparant les valeurs de ch et sur , montrer que .

Dans cette partie, .
. (a) Établir que la fonction est intégrable sur .
(b) Montrer que .
. Montrer que est de classe sur .
. Montrer que est de classe sur .