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E3A Mathématiques A MP 2007

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Algèbre linéaireTopologie/EVNAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries et familles sommablesRéduction
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Banque
E3A
Année
2007
Filière
MP
Matière
Maths
E3A MPE3A 2007MP MathsMaths 2007
2025_08_29_e4f29aa93464dd9bc964g

Épreuve de Mathématiques A MP

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Objectifs.

Le but du problème est d'étudier, dans un -espace vectoriel normé, la distance d'un vecteur à un hyperplan.
Dans la partie , on étudie un exemple dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.
Dans la partie II, on étudie le cas de la dimension finie, puis on montre que les hyperplans sont fermés ou denses.
Dans la partie III, on étudie le cas des hyperplans denses.
Dans la partie IV, on étudie un exemple d'hyperplan fermé.
Les quatre parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I.

est l'ensemble des matrices carrées d'ordre , à coefficients réels, on le munit du produit scalaire défini par :
où et sont deux matrices de est la transposée de la matrice et est la trace de la matrice .
Soit la matrice de définie par :
On note l'ensemble des matrices de vérifiant .
  1. Montrer que est un hyperplan de .
  2. On note , exprimer en fonction des .
  3. On rappelle que la distance d 'une matrice de à l'hyperplan est définie par :
où la norme est la norme associée au produit scalaire de . Montrer que :
  1. Calculer en fonction de .
  2. On note , où désigne la matrice identité d'ordre .
    a) Déterminer le rang de .
    b) Calculer , montrer que et ont le même rang.
    c) On appelle l'endomorphisme de , tel que la matrice de dans la base canonique de soit la matrice .
    On rappelle que et désignent respectivement, le noyau et l'image de l'endomorphisme . Montrer que :
d) En déduire que la matrice est semblable à une matrice du type où est une matrice carrée d'ordre 2 inversible.
e) Calculer les traces, et , des matrices et , en déduire les valeurs propres de .
f) En déduire les valeurs propres de ainsi que la dimension des sous-espaces propres associés.
6) Soit un polynôme à coefficients réels de degré , de la forme , on définit par :
Calculer la distance de la matrice à l'hyperplan en fonction de . On pourra utilement poser : et calculer .

Partie II.

est un hyperplan d'un -espace vectoriel normé est une forme linéaire non nulle sur , dont le noyau est égal à .
  1. Dans cette question, est un -espace vectoriel normé de dimension finie, on désigne par un vecteur de .
    a) On note la distance de à l'hyperplan . Montrer qu'il existe une suite d' éléments de tels que :
b) Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite qui converge vers un élément de .
c) En déduire qu'il existe appartenant à l'hyperplan tel que :
On dit que la distance de à l'hyperplan est atteinte en .
2) On suppose dans cette question que est un -espace vectoriel normé de dimension quelconque.
a) Montrer que si est une forme linéaire continue sur alors le noyau, Ker , est fermé dans .
b) Montrer que si le noyau, , de est fermé alors est continue. On pourra montrer que, si n'est pas continue, alors il existe une suite de telle que :
Puis, on utilisera la suite pour mettre en évidence une contradiction.
c) Montrer que si est un hyperplan de alors l'adhérence de est un sous-espace vectoriel de .
d) En déduire que tout hyperplan de est fermé ou dense, c'est à dire ou .

Partie III.

On suppose dans cette partie que est un espace préhilbertien muni du produit scalaire : et que est un hyperplan dense de , c'est à dire .
  1. Déterminer , l'orthogonal de .
  2. Que dire de ?
  3. Pour tout vecteur de , calculer la distance .
  4. La distance est-elle toujours atteinte? Justifier.

Partie IV.

On suppose dans cette partie que est un hyperplan fermé, d'un -espace vectoriel normé de dimension quelconque. est le noyau de la forme linéaire , continue non nulle sur désigne un vecteur fixé de . On rappelle que la norme de l'application subordonnée à la norme de est définie par :
  1. a) Montrer que, pour tout élément de on a :
b) En déduire que la distance de à l'hyperplan est supérieure ou égale à .
c) Montrer que si et seulement si .
d) On considère dans cette question .
) Montrer qu'il existe une suite d'éléments de vérifiant :
) Montrer que, pour tout entier , il existe un réel non nul et un vecteur de tel que : .
Prouver que, pour tout entier :
e) En déduire que, pour tout vecteur de , on a :
  1. Dans cette question, est l'ensemble des suites réelles de limite nulle, on munit cet ensemble de la norme infinie, c'est à dire que si alors et est ainsi un -espace vectoriel normé.
    est l'application définie de dans par :
a) Montrer que la série est convergente.
b) Montrer que est une forme linéaire continue non nulle sur , en déduire .
c) Soit une suite d'éléments de , on notera le terme de rang de la suite . On définit par :
Calculer , en déduire .
d) Montrer qu'il n'existe pas d'élément non nul de telle que :
e) On note le noyau de , vérifier que est un hyperplan fermé de .
f) Montrer que la distance d'un vecteur de à l'hyperplan n'est pas toujours atteinte.
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