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E3A Mathématiques A MP 2008
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Polynômes et fractionsRéductionAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentielles
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A MP
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
Questions de cours et exemples.
Soit
- Donner la définition d'un polynôme annulateur de
. - Quelle est la structure de l'ensemble
des polynômes annulateurs de ? - Donner la définition du polynôme minimal de
que l'on notera . - Prouver l'existence de
. - Un premier exemple.
Soit
5.1. Calculer
5.2. Déterminer
6. Un second exemple.
6.1. Chercher les solutions à valeurs réelles des équations différentielles :
5.2. Déterminer
6. Un second exemple.
6.1. Chercher les solutions à valeurs réelles des équations différentielles :
où
6.2. On considère
6.2. On considère
Soit
Démontrer que
6.3. Résoudre l'équation
6.4. En déduire les solutions de (
6.5. On note alors
6.5.1. Quelle est la dimension de
6.5.2. Justifier que la dérivation induit sur
6.5.3. Déterminer le polynôme minimal
Démontrer que
6.3. Résoudre l'équation
6.4. En déduire les solutions de (
6.5. On note alors
6.5.1. Quelle est la dimension de
6.5.2. Justifier que la dérivation induit sur
6.5.3. Déterminer le polynôme minimal
Problème.
Dans tout le problème,
L'endomorphisme identité de
On rappelle que si
L'endomorphisme identité de
On rappelle que si
Lorsque
Soient
Soient
Partie 1: Quelques propriétés des endomorphismes
- Rappeler la dimension de
. En donner une base usuelle. - Montrer que
et sont des endomorphismes de qui laissent stable .
On note alors
3. Ecrire les matrices
4. Préciser le noyau et l'image de chacun de ces endomorphismes.
5. Les endomorphismes
6. Quel est le polynôme caractéristique de
7. Quel est le polynôme caractéristique de
8. On note
3. Ecrire les matrices
4. Préciser le noyau et l'image de chacun de ces endomorphismes.
5. Les endomorphismes
6. Quel est le polynôme caractéristique de
7. Quel est le polynôme caractéristique de
8. On note
8.1. Vérifier que la famille
8.2. Déterminer
8.2. Déterminer
Montrer que pour tout
8.3. Ecrire la matrice
8.4. Donner une base de
8.5. Calculer, pour
8.4. Donner une base de
8.5. Calculer, pour
On rappelle que
9. Détermination des composantes d'un polynôme de
9.1. Soit
9. Détermination des composantes d'un polynôme de
9.1. Soit
Justifier l'existence et l'unicité de scalaires
9.2. Calculer
9.3. Exprimer alors les composantes de
9.4. Déterminer la base duale de la base
10. Calculer
9.2. Calculer
9.3. Exprimer alors les composantes de
9.4. Déterminer la base duale de la base
10. Calculer
Partie 2 : Recherche de quelques polynômes minimaux.
- Soit
. Justifier que divise . - Recherche de
.
2.1. Déterminer.
2.2. Calculer :.
2.3. Conclure.
2.4. De même, déterminer le polynôme minimal de. - Recherche de
.
3.1. Montrer qu'il existetel que .
3.2. Prouver que :. - Polynômes annulateurs de
.
Soit
4.1. Que sait-on de
4.2. On note
4.3. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de
5. Polynômes annulateurs de
4.1. Que sait-on de
4.2. On note
4.3. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de
5. Polynômes annulateurs de
Soit
5.1. Montrer que:
5.2. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de
6. Soit
5.1. Montrer que:
5.2. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de
6. Soit
6.1. Vérifier que
6.2. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de
6.2. Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de
Partie 3.
Soit
- Montrer que l'on a la relation :
. - On va démontrer dans cette question que :
.
2.1. Prouver que :
On pourra utiliser la question 9.3. de la partie 1.
2.2. Calculer pour tout
2.3. Conclure.
2.2. Calculer pour tout
2.3. Conclure.
Fin du problème