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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Mathématiques A MP
Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Problème
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
Notations
Dans tout le problème, ln désigne le logarithme népérien.
Soit
Soit
Soit
Partie I
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière
. - Démontrer l'égalité
, pour tout nombre réel dans l'intervalle . - Justifier que la fonction
est de classe sur l'intervalle . - Déterminer le signe de
, selon la valeur du nombre réel dans .
Partie II
Soit
- Justifier que la fonction
est de classe sur l'intervalle ouvert . - Démontrer que la fonction
admet un prolongement par continuité à gauche au point 1 . - Justifier que la fonction
est strictement croissante sur l'intervalle ] - ]. - Démontrer que la fonction
admet un développement en série entière sur l'intervalle ; on énoncera explicitement le théorème utilisé. Expliciter les coefficients de ce développement. - Soit
dans l'intervalle . Démontrer la relation :
Cette relation est-elle vérifiée pour
6. Justifier l'égalité :
6. Justifier l'égalité :
Partie III
- Soit
un entier naturel non nul. Démontrer que l'application qui envoie un entier sur l'entier induit une bijection de l'ensemble des entiers naturels impairs compris entre 0 et sur l'ensemble des entiers naturels impairs compris entre et . - Soit
dans l'intervalle . Démontrer l'égalité :
- Démontrer, pour tout entier naturel
non nul, l'égalité :
- On se propose de démontrer l'égalité :
(a) Démontrer, pour tout nombre réel
(b) Démontrer qu'il existe un nombre réel
(c) Conclure.
5. En déduire la valeur de
6. Démontrer, pour tout
5. En déduire la valeur de
6. Démontrer, pour tout
- En déduire une expression de
en fonction de et de . - En déduire en fonction de
la valeur de l'intégrale
Partie IV
- Déterminer la limite quand
tend vers de . - Quel est l'image de l'intervalle
par la fonction qui envoie sur ? - Soit
la fonction définie sur l'intervalle par .
(a) Après avoir justifié que la fonctionest dérivable sur l'intervalle , calculer la dérivée de .
(b) En déduire, pour toutdans l'intervalle , la relation
- Déterminer la limite quand
tend vers de . - Quelle est la nature de la branche infinie de
en ? - Représenter le graphe de la fonction
sur l'intervalle .
Partie V
Soit
- Résoudre sur l'intervalle
l'équation homogène associée. Quelle est la nature de l'espace des solutions? - En déduire les solutions sur l'intervalle
de l'équation .
Soit alors
- Démontrer que les solutions sur l'intervalle
de ( ) sont les fonctions de la forme , où et sont des constantes. - Peut-on trouver des solutions de l'équation différentielle
sur l'intervalle [ ? Si oui, les décrire. Quelle est la nature de l'espace des solutions ?