Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Notations

Soit

la fonction de la variable réelle

définie sur

par :

Soit

la série entière :

Partie I

Justifier que la fonction est de classe sur .
Etablir le tableau de variations de .
Représenter le graphe de la fonction sur .
Démontrer que la fonction réalise une bijection de l'intervalle sur un intervalle que l'on précisera.
Justifier l'existence d'une fonction continue sur l'intervalle fermé . et de classe sur l'intervalle ouvert ] [ telle que :

Dans la suite du problème, on considère la fonction réciproque de la restriction de

, c'est-à-dire une fonction

définie et continue sur l'intervalle fermé

et de classe

sur l'intervalle ouvert ] -

[ telle que :

Partie III

Calculer et .
Exprimer la fonction dérivée en fonction de .
Représenter le graphe de la fonction sur l'intervalle . La fonction admet-elle une tangente au point d'abcisse ?
Démontrer que la fonction admet en une branche parabolique dont on précisera la direction.
Soit la primitive de définie sur l'intervalle et qui prend la valeur 0 en 0 .
(a) Exprimer fonction de pour dans l'intervalle . (Indication : on pourra faire le changement de variables dans l'intégrale .) Ce résultat reste-t'il valable pour ?
(b) En déduire la valeur de .

Partie III

Soit

un nombre réel tel que

. On considère la suite récurrente

définie par :

Que dire de la suite dans le cas particulier ?

On suppose dans la suite de la partie III que

.
2. On suppose que la suite

converge. On note

cette limite. Démontrer que

.
3. On suppose dans cette question uniquement que

.
(a) Démontrer les inégalités

.
(b) Démontrer que la suite

est croissante et majorée par 2.
(c) Démontrer que la suite

converge vers 2 .
4. On suppose dans cette question uniquement que

.
(a) Etablir le tableau de variation de la fonction

définie par

sur l'intervalle

.
(b) En déduire les propriétés suivantes de la suite

:
i. La suite

extraite de

est monotone et contenue dans

.
ii. La suite

extraite de

est monotone et contenue dans

.
iii.

(Indication : on pourra comparer

).
iv. La suite

est croissante et la suite

est décroissante.
v. Un calcul qui n'est pas demandé assure que la fonction qui envoie le nombre réel

sur

est strictement décroissante sur l'intervalle

. Démontrer que la suite

converge et déterminer sa limite.

Partie IV

(a) Démontrer que la suite de terme général converge vers le nombre .
(b) En déduire le rayon de convergence de la série .
On se propose d'étudier le comportement de la série entière sur le cercle d'équation , étant le rayon de convergence de .
(a) Pour tout entier naturel non nul , on pose:

i. Déterminer un équivalent de la suite

lorsque

tend vers

.
ii. En déduire la nature de la série de terme général

.
iii. Démontrer que la suite de terme général

a une limite lorsque

tend vers

. On notera

cette limite.
iv. En déduire un équivalent de la suite

lorsque

tend vers

.
(b) Démontrer que la série de terme général

est convergente.
(c) Conclure.

Partie V - A

Etant donné

un nombre réel

, on note :

l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles de classe sur ,
le sous-espace vectoriel de des fonctions qui se prolongent en des fonctions de classe sur ,
le sous-espace vectoriel de des fonctions qui admettent un développement en série entière sur .

On note

les fonctions dans

définies par :

On remarque que le produit de deux fonctions de

est une fonction de

. En particulier, si

est une fonction de

et si

est un entier naturel non nul,

est la fonction de

définie par :

Soit

l'ensemble des fonctions

où

est un entier naturel et

une fonction dans

Démontrer que est un sous-espace vectoriel de et que contient .
Soit dans . Démontrer qu'il existe une unique suite de nombres réels , ayant au plus un nombre fini de termes indexés négativement et non nuls, telle que

Démontrer que est une forme linéaire sur qui s'annule sur .
Soit dans . Démontrer que sa fonction dérivée appartient à et vérifie .
Soit la fonction étudiée dans la partie I.
(a) Démontrer que la fonction appartient à et expliciter, en fonction de l'entier , , pour tout entier relatif .
(b) Soit un entier naturel. Démontrer que la fonction appartient à et expliciter en fonction de l'entier , pour tout entier relatif .

Partie V - B

On admet que la fonction

étudiée dans la partie II est développable en série entière sur

: il existe une suite

telle que pour tout

dans

. On se propose de calculer les coefficients

Déterminer et .
Démontrer qu'il existe un nombre réel tel que .
En déduire que la série de fonctions converge normalement sur vers la fonction .
Soit un entier naturel . Démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur .
Soit un entier naturel.
(a) Démontrer que la série de fonctions converge normalement sur vers une fonction développable en série entière sur .
(b) En déduire que la série de fonctions converge normalement sur vers une fonction développable en série entière sur . (Indication : on pourra commencer par justifier qu'une série entière de rayon de convergence non nul et telle que admet une limite finie lorsque tend vers 0 vérifie .
(c) Démontrer, pour tout nombre réel dans , l'égalité :

(d) En déduire que :

(e) En considérant la dérivée de la fonction

, démontrer que

En déduire la valeur de

en fonction de

, pour tout entier naturel

.
6. Quelle relation peut-on en déduire entre la fonction

et la série