E3A Mathématiques A PC 2005

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On désigne par l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, et par le sousespace des polynômes de degré inférieur ou égal à , pour tout entier naturel . Soit la suite de polynômes de définie par , puis la relation :

I. Êtude de la suite des polynômes ( )
) Déterminer les polynômes et .
) Déterminer le degré, la parité et le coefficient dominant de pour .
) Soit dans . Montrer que la famille ( ) est une base de .
) a) Établir par récurrence les relations suivantes pour tout nombre réel :

On rappelle que .
b) En déduire que pour .
c) Soit un entier . Montrer que, pour tout dans (on pourra poser .
d) En déduire que, pour tout entier et pour tout dans , .
) a) Pour tout entier , résoudre dans l'equation .
b) En déduire que, pour tout entier a racines réelles dans .
c) Soit un entier . Donner la décomposition de en facteurs irréductibles dans .
) Établir la convergence et calculer la somme des séries suivantes pour et réel :

Dans toute la suite, on désigne par un entier naturel non nul et les racines de par , où :

On associe à tout couple de polynômes de l'intégrale suivante :

) Montrer que l'application définit un produit scalaire sur ,
a) Soient tels que . Calculer .
b) Calculer et .
c) En déduire que, pour est orthogonal à .
d) En utilisant les questions I.2), II.A.2.b) et II.A.2.c), montrer que .
) Montrer que la famille ( ) est une base orthogonale de

On associe à tout polynôme de l'intégrale et la somme suivantes :

On note, pour .
a) Calculer .
b) Calculer pour ,

c) En déduire que, pour .
) a) Pour , calculer et .
b) En déduire que, pour tout dans .
) Soit un polynôme de . On note et respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de par ; on a donc où .
a) Montrer que .
b) En déduire, en utilisant II.A.2.c), que .
c) En déduire que, pour .
Calculer et ; qu'en conclut-on?

On associe à toute fonction continue l'intégrale et la somme suivantes :

) On admet le théorème sur les sommes de Riemann :
Théorème : Soit une fonction continue sur un intervalle . Soit un entier naturel non nul. On pose pour dans . Alors, pour tous tels que, , on a :

Démontrer que .
) On suppose que est l'application définie par où est un réel tel que : et .
a) Montrer que est continue sur et en déduire que .
b) i. Exprimer les racines de -1 dans en fonction de (on pourra les classer par conjugués).
ii. Donner la factorisation en irréductibles de dans .
iii. En déduire que la factorisation en irréductibles de dans est :

iv. Montrer que :

c) Donner la limite de quand tend vers (on distinguera les cas : . En déduire la valeur selon la valeur de .
d) Donner un équivalent de quand tend vers , en distinguant les cas et .