Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Problème.

La présentation, la lisibilité, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements, l'énoncé exact des théorèmes de cours utilisés entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Ce problème a pour but d'étudier les crochets de Lie sur un R espace vectoriel de dimension 1, 2 ou 3.
Les parties I et II sont indépendantes, la partie III utilise certains résultats de la partie I.
E étant un R espace vectoriel :

Une application B de

dans E est dite antisymétrique ssi

.
On appelle crochet de Lie sur E noté [, ] toute application telle que :

[, ]:
[, ] est bilinéaire
[, ] est antisymétrique

Dans ce problème l'ensemble des vecteurs de la géométrie plane est identifié à l'espace vectoriel et l'ensemble des vecteurs de la géométrie dans l'espace à l'espace vectoriel . Si est le espace vectoriel ou la notation de la géométrie vectorielle pour les éléments de sera adoptée : ils seront notés avec une flèche.
Dans les parties I et III, l'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire usuel de vecteurs et sera noté et le produit vectoriel de ces deux vecteurs sera noté .
On rappelle la formule : .
désigne la base orthonormale directe canonique de .
Si représente l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre le sous espace vectoriel de constitué des matrices symétriques et le sous espace vectoriel de constitué des matrices antisymétriques.
Si b est une base de et f un endomorphisme de désigne le vecteur de formé par les coordonnées de dans la base et la matrice de dans la base .
Si , désignera l'endomorphisme de canoniquement associé à c'est-à-dire l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est .

Questions de cours.

Montrer que et sont supplémentaires dans , en particulier si donner l'unique décomposition de C en où et .
Si avec rang(S) , montrer qu'il existe une base de orthonormée directe telle que est de la forme où .
Application : on considère , déterminer une base et les valeurs de et . Calculer pour tout , la matrice (distinguer pair et impair).

Partie I: Exemples de crochets de Lie et premières propriétés.

Exemples de crochet de Lie.:
a) On considère E un R espace vectoriel quelconque, montrer que

b) Montrer que

est un crochet de Lie sur

et sur

où

. Est-ce un crochet de Lie sur

? (justifier la réponse)
2) Crochet de Lie usuel sur

:
a) Montrer que

.En déduire que [, ]

est un crochet de Lie

.
b) On considère

.
i)

Montrer que

est un endomorphisme de

.
ii) Déterminer le noyau et le rang de

.
iii) Dans la suite de cette question, on pose

où

, donner la matrice

dans la base

, vérifier que

.
iv) Calculer le polynôme caractéristique de

.
v)

est-il diagonalisable dans

?
vi) On considère une matrice antisymétrique quelconque

montrer qu'il existe un unique

tel que

Partie II: Détermination des crochets de Lie en dimension 1 et 2.

On considère un espace vectoriel quelconque muni d'un crochet de Lie [, ].
a) Montrer que si est une famille liée de E alors .
b) La réciproque est-elle vraie ?
Détermination des crochets de Lie en dimension 1 .

On considère

espace vectoriel de dimension 1 .
a) Si E est muni d'un crochet de Lie [, ], montrer que

.
b) Quels sont tous les crochets de Lie sur E?
3) Détermination des crochets de Lie en dimension 2 .

On considère E un R espace vectoriel de dimension 2 muni d'une base

. Le déterminant de deux vecteurs

de E dans la base B sera noté

.
a) On suppose dans cette question que E est muni d'un crochet de Lie [, ] quelconque. Si

avec

où

, montrer que

où

.
b) Dans cette question, on considère

un vecteur quelconque de E et on pose si

, le but de cette question est de montrer que c'est un crochet de Lie sur E.
i) Montrer que

ii)

Montrer que

.
iii) En déduire que [, ] est un crochet de Lie sur

.
c) Quels sont tous les crochets de Lie sur E?

Partie III: Etude des crochets de Lie en dimension 3.

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On rappelle que

désigne la base orthonormale directe canonique de

Expressions des crochets de Lie sur .

Dans toute la question 1), [, ] représente un crochet de Lie quelconque sur

.
On pose alors

avec

.
a) Le but de cette question est de montrer qu'il existe un unique endomorphisme f de

tel que pour tout

.
i)

Montrer que si

alors

ii) En déduire que pour tout

.
iii) Montrer que

est l'unique endomorphisme f de

tel que pour

b) D'après la question de cours 1) il existe un unique

tels que

.
i) D'après (Partie I)2)b)vi)), il existe un unique

tel que

c'est-à-

ii) Montrer que

.
iii) Montrer que

.
iv) En déduire que

et que

.
c) Déduire des questions précédentes que

2) Réciproque:

Dans cette question, on considère

quelconques.
On définit [, ] par:

et l'on veut montrer que [ , ] est un crochet de Lie sur

( dit crochet de Lie associé à S).
a) Montrer que [, ] est bilinéaire antisymétrique.
b) On suppose dans cette question

, on pose

. Dans la question de cours 2), a été établie l'existence d'une base

orthonormale directe telle que

où

.
i) Montrer que le premier vecteur de b peut-être choisi égal à

Dans la suite de cette question, le premier vecteur de b est

.
ii) Si

, on note

, montrer que

ù

iii) Si

, on note

, calculer

.
iv) En déduire que si

avec

ù

v) Montrer que [, ] est un crochet de Lie sur

.
vi) Application : En utilisant la partie Question de cours)2), donner

é à

c) On suppose dans cette question

, montrer par un raisonnement similaire à III)2)b) que [, ] est un crochet de Lie sur