Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Ce problème a pour objet l'étude d'endomorphismes sur des espaces vectoriels réels construits à l'aide de formes linéaires.
On rappelle qu'une forme linéaire sur un

-espace vectoriel

est une application linéaire définie sur

et à valeurs dans

.
Pour tout endomorphisme

d'un espace vectoriel et tout entier

, on note

l'endomorphisme composé

.
Les deux premières parties sont consacrées à deux exemples et les deux suivantes à une étude théorique de tels endomorphismes. Les quatre parties de ce problème sont largement indépendantes entre elles.
L'espace

est muni de son produit scalaire canonique et d'un repère orthonormé

. À tout point

de l'espace de coordonnées (

) dans

, on associe le vecteur colonne

Première partie

On considère la matrice

ainsi que la surface

On notera

l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice

Vérifier qu'une équation de dans est

et en déduire que

est la réunion de deux plans perpendiculaires.
2. On se propose dans cette question de retrouver la nature de

par une autre approche. On considère les vecteurs

(a) Vérifier que

est une base orthonormée de

puis calculer

.
(b) En déduire que

est semblable à la matrice

et justifier qu'il existe une matrice orthogonale

, que l'on précisera, telle que

.
(c) La matrice

est-elle diagonalisable?
(d) Soit

un point de l'espace. On note

le vecteur colonne de ses coordonnées dans le repère

.
(i) Écrire

en fonction de

.
(ii) En déduire qu'un point

de coordonnées (

) dans

appartient à

si et seulement si

et retrouver la nature géométrique de

.
3. (a) Déterminer le rang de

et calculer

.
(b) Déterminer une forme linéaire

sur

et un vecteur

tels que

Deuxième partie

On considère les trois suites

définies par leur premier terme

et par les relations de récurrence

(a) Exprimer en fonction de et en déduire que pour tout entier .
(b) En déduire que pour tout entier .
(c) En déduire, pour , les expressions de et en fonction de uniquement puis prouver la convergence de ces trois suites.
On se propose dans cette question de retrouver les limites de ces suites par une autre approche.
(a) Déterminer une matrice telle qu'en posant , on ait .
(b) Justifier l'existence d'une matrice diagonale et d'une matrice inversible telles que et préciser et .
(c) Retrouver les limites des suites et en posant .

Troisième partie

Soit

-espace vectoriel de dimension finie

; on fixe un vecteur

non nul de

ainsi qu'une forme linéaire

sur

qui n'est pas la forme linéaire nulle. On considère enfin l'application

définie sur

par

Vérifier que est un endomorphisme de et préciser son rang.
(a) Vérifier que 0 est une valeur propre de et exprimer son sous-espace propre associé à l'aide de Ker .
(b) On suppose que est une valeur propre non nulle de et que est un vecteur propre associé. Montrer que est colinéaire à et que .
(c) En déduire, en distinguant les cas et , toutes les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés.
(d) Énoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que soit diagonalisable.
On adopte un autre point de vue pour étudier la diagonalisation de .
(a) Pour tout et tout entier , démontrer que

(b) Énoncer précisément la caractérisation des endomorphismes diagonalisables en termes de polynôme annulateur.
(c) On suppose que

. Vérifier que

(endomorphisme nul) et en déduire que

n'est pas diagonalisable.
(d) On suppose

. Trouver un polynôme annulateur de

et en déduire que

est diagonalisable.

On considère à présent un endomorphisme

de rang 1 .
4. Démontrer qu'il existe un vecteur non nul

et une forme linéaire

sur

, qui n'est pas la forme linéaire nulle, tels que

On suppose que (endomorphisme nul). Montrer que est diagonalisable et qu'il existe un réel et une base de dans laquelle a pour matrice la matrice diagonale

On suppose que et on considère un vecteur tel que .
(a) Énoncer le théorème de la base incomplète.
(b) Justifier l'existence de vecteurs tels que ( ) soit une base de .
(c) En déduire l'existence d'une base de dans laquelle a pour matrice

Déduire des questions 5 et 6 que deux matrices carrées de rang 1 de sont semblables si et seulement si elles ont même trace.

Quatrième partie

Dans cette partie, on suppose que

est de dimension infinie ou de dimension finie

. On fixe un vecteur

non nul de

ainsi qu'une forme linéaire

sur

. On considère l'application

définie sur

par

et on supposera

Démontrer que est la droite vectorielle dirigée par puis démontrer que .
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de . On suppose, dans cette question seulement, que est de dimension finie ; l'endomorphisme est-il diagonalisable?
Démontrer que pour tout et tout ,

L'espace vectoriel est muni d'une norme et l'on suppose que . Montrer que

Applications.
(a) Soit une fonction définie et continue sur , à valeurs réelles. On considère la suite de fonctions définie par et pour tout par

Démontrer que pour tout

lorsque

.
(b) En considérant le vecteur

et et la forme linéaire

, retrouver les limites des suites

de la partie II.