Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Les trois parties sont relativement indépendantes.

On rappelle la définition des fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique.
Pour tout , on pose: .
a) Préciser un équivalent simple de et de lorsque le réel tend vers .
b) Établir les tableaux de variation (avec les limites aux bornes) des deux fonctions définies sur et .

I-1.1. Justifier l'existence de : pour tout .
I-1.2. Déterminer une relation entre et .
I-1.3. Calculer . En déduire la valeur de pour tout .
I-1.4. En déduire, pour tout et tout , la valeur de : .
I-2.1. Justifier que pour tout , on a:
I-2.2. En déduire l'existence de pour tout , ainsi qu'un encadrement du rapport .

I-2.3. Grâce au calcul de la dérivée de la fonction calculer .
I-2.4. Justifier l'égalité pour tout réel .
I-2.5. En déduire: .
On énoncera et on appliquera avec soin le théorème d'intégration terme à terme utilisé.
I-2.6. Montrer que l'égalité précédente reste valable pour .
I-3.1. Montrer l'existence de : pour tout .
I-3.2. Justifier l'égalité pour tout réel .
I-3.3. En déduire : .
I-4. Soit -périodique et impaire telle que :

I-4.1. Déterminer les coefficients de Fourier pour .
I-4.2. Grâce à des résultats que l'on précisera sur les séries de Fourier et appliqués à retrouver la valeur de et donner la valeur de .

II-1. Pour tout réel on pose :
II-1.1. Montrer que est définie et de classe sur , et pour tout réel , exprimer sous forme d'une intégrale.

II-1.2. Montrer que est développable en série entière sur l'intervalle ] - 1,1 [. Justifier grâce à I-2.2 que le rayon de convergence de ce développement vaut 1 .

Pour cela on exprimera d'abord comme somme d'une série.
II-1.3. En effectuant une intégration par parties, majorer indépendamment du réel . En déduire .

II-2. Pour tout réel on pose :
II-2.1. Soient et . En utilisant I-2.4, justifier que:

II-2.2. En déduire que pour tout réel et tout , on a :

II-2.3. Pour tout réel et tout , calculer : .
II-2.4. Conclure que:

II-3. Soit fixé. On considère -périodique et impaire telle que :

II-3.1. Justifier que est égale à la somme de sa série de Fourier sur .
II-3.2. Déterminer les coefficients de Fourier : pour tout .
II-3.3. En déduire : .
On pourra admettre la relation, valable pour tout réel .

On s'intéresse ici à : .
III-1. En utilisant ch et sh, déterminer toutes les telles que .
III-2.1. Donner la forme générale d'une solution .
On rappelle qu'il y a au moins deux méthodes possibles de résolution: soit en posant soit en posant ; avec des conditions sur les fonctions et , ou sur la fonction , qui seront précisées en cas d'utilisation de l'une de ces méthodes.

III-2.2. Existe-t-il des solutions impaires dans ?
III-2.3. Expliciter l'unique solution , paire et telle .
III-3.1. Déterminer explicitement l'unique suite réelle telle que :

III-3.2. Montrer l'existence et l'unicité d'une unique suite réelle (que l'on ne cherchera pas à déterminer explicitement, mais que l'on définira par récurrence) telle que :

III-3.3. Préciser .
III-3.4. Démontrer par récurrence : .
On pourra considérer comme connu que .
III-3.5. En déduire que pour tout , la série converge absolument, avec de plus: .

Remarque : On a ainsi prouvé que est développable en série entière sur .
III-4. On suppose qu'il existe une suite réelle avec et telle que la série entière définie par ait un rayon de convergence , et vérifie :

III-4.1. Pour tout , déterminer une relation entre et .
III-4.2. En déduire qu'une telle suite est unique et montrer par récurrence :

III-4.3. En déduire que la fonction considérée en III- 2.3 est développable en série entière sur l'intervalle .

III-4.4. Justifier que est développable en série entière sur l'intervalle .

Fin de l'énoncé.
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