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E3A Mathématiques A PC 2014

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètres
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Banque
E3A
Année
2014
Filière
PC
Matière
Maths
E3A PCE3A 2014PC MathsMaths 2014
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Ce sujet a pour objet l'étude du comportement asymptotique des solutions de certaines équations différentielles linéaires du deuxième ordre.
Les deux premières parties, indépendantes entre elles, sont consacrées à des exemples. La troisième partie a pour but d'établir quelques résultats utiles pour la quatrième partie ; ces résultats pourront être éventuellement admis pour traiter la quatrième partie qui est consacrée à l'obtention d'un résultat général.
Toutes les fonctions intervenant dans ce problème sont à valeurs réelles
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Questions préliminaires

  1. Énoncer la formule de changement de variable dans une intégrale sur un intervalle quelconque.
  2. Énoncer le théorème de dérivation des intégrales dépendant d'un paramètre pour une fonction où et sont des intervalles de .
  3. Énoncer le théorème de convergence dominée.

Première partie

On considère les intégrales impropres suivantes :
  1. Justifier l'existence des intégrales et et les calculer.
  2. Justifier l'existence de et la calculer en introduisant la fonction .
  3. On considère la fonction
(a) Démontrer que est définie sur .
(b) Démontrer que est de classe sur .
(c) Démontrer, en effectuant une intégration par parties, que
  1. On se donne une fonction , définie et de classe sur l'intervalle telle que
et on considère une fonction de classe sur et solution sur de l'équation différentielle
(a) On note . Démontrer que la fonction est décroissante sur .
(b) En déduire que s'il existe un réel tel que
alors est bornée sur .
5. Soit une fonction définie et de classe sur vérifiant
et la fonction définie sur par . Déterminer une fonction telle que
  1. Démontrer qu'il existe un réel tel que
où est la fonction définie en 3. de cette partie.

Deuxième partie

Soit une fonction définie et de classe sur , à valeurs réelles. On considère alors la fonction définie sur .
  1. Démontrer que est une solution sur de l'équation différentielle
si et seulement si est une solution sur de l'équation différentielle
  1. (a) Démontrer qu'une série entière à coefficients réels et de rayon de convergence non nul satisfait
si et seulement si
(b) Déterminer le rayon de convergence et expliciter la somme de la série entière obtenue en (a) à l'aide des fonctions usuelles.
3. Déterminer une solution de sur autre que la fonction nulle telle que .

Troisième partie

  1. Soit telle qu'il existe un réel tel que pour tout couple de nombres réels avec , on ait
Pour tout entier , on pose .
(a) Démontrer que la série est absolument convergente.
(b) En déduire que la suite est convergente. On notera sa limite (on ne demande pas de calculer ).
(c) Démontrer que .
2. Soit une fonction définie et de classe sur telle que .
(a) Démontrer que est bornée sur . On notera alors un réel tel que pour tout .
(b) Soit ( ) une suite de réels strictement positifs telle que . Démontrer, en citant avec soin le théorème utilisé, que
En déduire que .
(c) En déduire que .
3. Soit une fonction définie et de classe sur . On suppose que possède une limite finie en . Démontrer en considérant la fonction que .
4. En déduire que si est une fonction définie et de classe sur et telle que possède une limite finie en , alors .

Quatrième partie

On se donne une fonction définie et continue sur . On considère sur l'équation différentielle
Soit une solution de de classe sur .
  1. Vérifier que pour tout couple de réels tels que , on a
  1. En prenant , déduire du 1 . de cette partie que pour tout réel ,
On supposera désormais que la fonction est intégrable sur et en notant
on supposera que .
3. On fixe un réel .
(a) Justifier l'existence du réel .
(b) Démontrer que pour tout ,
(c) En déduire que
  1. Démontrer que la fonction est bornée sur .
  2. On suppose de plus que la fonction est intégrable sur .
    (a) Déduire des questions 1. et 4. de cette partie l'existence d'un réel tel que pour tout couple de réels vérifiant , on ait
et en déduire que possède une limite finie lorsque tend vers .
(b) En déduire que .
6. Peut-on affirmer, pour toute solution de l'équation différentielle de la deuxième partie, l'existence d'une limite à lorsque tend vers ? Justifier la réponse.
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