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E3A Mathématiques A PSI 2006
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsTopologie/EVNCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques A PSI durée 3 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
Soit (L) l'équation différentielle :
Partie 1: Expression des solutions de (
- Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (
) ? En donner une base. - Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (
)? - Vérifier que la fonction
est une solution de l'équation différentielle ( ).
(Rappel : pour toutréel, et ). - En déduire que les solutions de (
) s'écrivent sous la forme :
où
5. Soient
5. Soient
Prouver l'existence d'une unique solution
On admettra que la fonction
où
et que la fonction
Partie 2: Développement en série de Fourier de la fonction
On fixe
- Donner une allure de la représentation graphique de
sur dans le cas où avec et . - Calculer les coefficients de Fourier de
. - La série de Fourier de
converge-t-elle? Vers quelle fonction? Justifiez votre réponse. - En déduire que:
.
Partie 3 : Etude d'un endomorphisme auto-adjoint défini par
Soit
dont la norme associée est notée
Soit
Soit
- Vérifier que
est un endomorphisme de . - Justifier que pour toute application
appartenant à et pour tout appartenant à ,
- Donner la définition d'un endomorphisme auto-adjoint (ou symétrique) de
. Prouver que est un endomorphisme auto-adjoint de . - Vérifier que :
. - Soit
telle que : .
5.1. Vérifier que :.
5.2. Soitla fonction définie sur , impaire et 2 - périodique, telle que :
Exprimer les coefficients de Fourier de
En déduire que :
5.3. Prouver alors que :
En déduire que :
5.3. Prouver alors que :
Pour toute fonction
5.4. Quel résultat peut-on en conclure pour les valeurs propres de
6. Pour
5.4. Quel résultat peut-on en conclure pour les valeurs propres de
6. Pour
6.1. Soient
6.2. Déterminer, pour
7. Soit
7.1. Prouver que
7.2. Vérifier que
7.3. Prouver qu'il est impossible que
7.4. Prouver qu'il est impossible que
7.5. Lorsque
7.6. Déterminer alors les éléments propres de
6.2. Déterminer, pour
7. Soit
7.1. Prouver que
7.2. Vérifier que
7.3. Prouver qu'il est impossible que
7.4. Prouver qu'il est impossible que
7.5. Lorsque
7.6. Déterminer alors les éléments propres de
Partie 4 : Calcul de la norme de l'endomorphisme
- Déterminer, pour
.
On pose alors, pour tout
2. Vérifier que :
2.1.
2.2.
3. En déduire que :
2. Vérifier que :
2.1.
2.2.
3. En déduire que :
- Prouver que
est un endomorphisme continu de . - Enfin, calculer :
.