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E3A Mathématiques A PSI 2012

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre linéaireRéductionSéries entières (et Fourier)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outils

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E3A PSI E3A 2012 PSI Maths Maths 2012

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

QUESTIONS D'APPLICATIONS DU COURS

Parmi les affirmations suivantes indiquez sans justification (sauf à la question 2.d.) celles que vous jugez vraies et celles que vous jugez fausses

Soient

deux réels. On note

l'espace vectoriel des suites réelles qui vérifient la relation :

Question 1.

a. Pour tous réels

contient au moins une suite géométrique non nulle.
b. Pour que

contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il suffit que

.
c. Pour que

contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il faut que

.
d.

contient deux suites géométriques indépendantes lorsque

.
e. La condition

est une condition nécessaire pour qu'il existe dans

deux suites géométriques indépendantes.

Question 2.

a. L'application

est une application linéaire toujours surjective mais injective seulement si

.
b. La condition

est une condition suffisante pour que

soit un isomorphisme.
c. La dimension de

est égale à deux seulement si

.
d. Donner en le justifiant soigneusement une base de l'espace vectoriel

dans le cas où

Question 3.

On considère la série entière

où

et on note

son rayon de convergence.
a. On a

et on en déduit que

.
b. On a

et on en déduit que la série entière diverge pour toute valeur du réel

.
c. On a

Question 4.

On considère la série entière

où

et on note

son rayon de convergence.
a. On a:

et donc,

.
b. On a :

.
c. Le rayon de convergence de la série entière

vaut 1 et donc,

.
d. On a:

.
e. Pour tout

.
f. Pour tout

.
g. Pour tout

Problème

Dans tout le problème,

désigne l'espace vectoriel des suites réelles.
On pourra noter une suite

sous la forme :

ou sous la forme

.
Une suite

est dite périodique de période

lorsqu'elle vérifie :

Partie A

Soit l'ensemble

Soient les deux suites et définies par: et
1.1 Vérifier que et sont des éléments de .
1.2 Montrer que ces deux suites sont périodiques.
Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Donner une base de et préciser sa dimension.
Soit non nulle.
4.1 La suite est-elle convergente?
4.2 La série , de terme général , est-elle convergente?
4.3 Soit la fonction de la variable réelle donnée par

Donner l'ensemble de définition de

et une expression de

à l'aide des fonctions usuelles et des termes

Partie B

Soit

, c'est-à-dire l'ensemble des suites réelles

pour lesquelles
il existe une constante réelle

telle que pour tout entier naturel

1.1 On prend: . Vérifier que .
1.2 On prend: où désigne la partie entière du réel .

Vérifier que

et préciser la valeur du réel

correspondant.
1.3 On prend

. Vérifier que

et préciser la valeur du réel

correspondant.
2. Vérifier que les suites constantes appartiennent à

.
3. Déterminer les suites géométriques appartenant à

.
4. Montrer que

est un sous-espace vectoriel de

.
5. A-t-on

?
6. Soit

l'application définie par :

Montrer que

est une forme linéaire sur

.
Quel est son noyau?
7. Soit

définie par:

;

Montrer que

où

est la droite vectorielle engendrée par la suite

.
8. Soit

. Déterminer alors pour tout entier naturel

, une expression de

en fonction de

.
9. Montrer que tout élément

est une suite périodique de période 4 .
10. Prouver que l'application

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

On note

la base de

obtenue comme image réciproque de la base canonique de

par

Expliciter les cinq premiers termes de chacune des suites et .
Soient et définie par: .
12.1 Vérifier que est un endomorphisme de .
12.2 Le sous-espace est-il stable par ?
12.3 Le sous-espace est-il stable par ?
12.4 Ecrire la matrice, dans la base obtenue à la Question 10., de l'endomorphisme induit par sur .
12.5 L'endomorphisme de est-il diagonalisable?
12.6 Reconnaître alors la nature géométrique de .
Soient et la fonction de la variable réelle donnée par .

Exprimer

à l'aide des fonctions usuelles pour

.
Etudier les prolongements possibles en -1 et 1 .

Partie C

Soient

fixé et l'espace vectoriel

Montrer que tout élément de est périodique de période .
Soit .
2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice .
2.2 Déterminer les valeurs propres de .
2.3 est-elle inversible?
2.4 est-elle diagonalisable dans ? dans ?
Prouver que l'application définie par : où , est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Quelle est la dimension de ?
On note l'image réciproque de la base canonique de par .
Soit l'application définie par :

4.1 Vérifier que

est un endomorphisme de

.
4.2 Sans nouveaux calculs, préciser

, composée

fois de l'application

.
4.3 Ecrire la matrice de

dans la base

est-elle diagonalisable?
4.5 Prouver que

est bijective et déterminer son inverse