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E3A Mathématiques A PSI 2014

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées

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E3A PSI E3A 2014 PSI Maths Maths 2014

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème

Etant donné un entier naturel

on note

-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et dont le degré est inférieur ou égal à

.
Si

, on dit que

est de degré

lorsque le coefficient

est non nul; ce coefficient est alors appelé «coefficient dominant de

». Dans tout le problème on identifie le polynôme

et sa fonction polynomiale associée.

Pour tout entier naturel

, on appelle

la fonction définie pour

par :

Partie 1.

Vérifier que pour tout entier naturel , la fonction est continue sur .
Pour , donner une expression polynomiale de et .
Représenter graphiquement dans un même repère orthonormal les fonctions et .
Montrer que: .
Soit la suite de polynômes définie par :

Montrer que pour tout entier naturel

est un polynôme de degré

de coefficient dominant que l'on explicitera.
6. Prouver que, pour tout entier naturel

, la famille

est une base de

.
7. Montrer que pour

, on a

Partie 2.

Pour tout couple d'éléments de on pose .
1.1 Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur . On note . $é$

Dans toute la suite du problème

est muni de ce produit scalaire.
1.2 Soient

dans

, on pose

Démontrer que, si l'on a

alors

.
Calculer

.
1.3 Montrer que, pour tout entier naturel

, la famille (

) définie dans la partie

est une base orthogonale de

.
Cette base est-elle orthonormale?
1.4 Prouver que pour tout entier naturel

non nul,

est orthogonal à

.
1.5 Montrer que:

.
2. Soient

des réels et

le polynôme de

défini par :

2.1 Justifier l'existence d'une unique famille de réels

telle que l'on a :

2.2 Calculer

.
2.3 Montrer que l'on a :

2.4 En déduire la valeur de :

Partie 3.

Soit

. Pour tout

, on pose

Vérifier que sont les racines du polynôme défini dans la partie .
Soit la famille des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à ( ), c'est-à-dire les polynômes de qui, pour tous et dans , vérifient

où

est le symbole de Kronecker :

2.1

est-elle une base de

?
2.2 Montrer qu'il existe des réels

tels que:

2.3 Soit

.
2.3a Justifier l'existence et l'unicité de deux polynômes

tels que :

.
2.3b Montrer que :

2.4 Dans toute cette question on fixe un entier naturel

dans

.
2.4a On rappelle que

(voir partie 1.).

Montrer que :

2.4b Soit la fonction

définie par :

Vérifier que, pour tout

réel, on a :

.
2.4c Soit

Calculer

.
En déduire que l'intégrale

existe.
Montrer que l'on a

.
2.4d Vérifier que :

2.4e En déduire que

.
3. Démontrer que, pour tout polynôme

, on a la relation :