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E3A Mathématiques B MP 2006
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Séries et familles sommablesRéductionAlgèbre linéaireSéries entières (et Fourier)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques B MP
durée 3 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
Exercice 1.
Soit
i)
ii)
iii) la suite (
iv)
i)
ii)
iii) la suite (
iv)
Soit
- Vérifier que :
. - Vérifier que :
.
En déduire la monotonie de la suite
3. Montrer que :
4. En déduire qu'au voisinage de l'infini :
3. Montrer que :
4. En déduire qu'au voisinage de l'infini :
5. Application :
Déterminer un équivalent au voisinage de l'infini de :
Exercice 2.
Soient deux suites
On suppose d'autre part que la fonction
On suppose d'autre part que la fonction
- Quel est l'ensemble de définition de la fonction
? - Justifier l'existence d'une suite
convergeant vers 0 et telle que :
- Soit
.
3.1. Prouver l'existence de.
3.2. Montrer que :
3.3. En déduire que :
Applications :
- Soit
la fonction définie par: .
4.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction.
4.2. Trouver un équivalent deau voisinage de . - Soit
l'équation différentielle définie sur :
5.1. Démontrer que
Préciser les coefficients de ce développement.
5.2. Donner une expression simple de
5.3. Trouver un équivalent de
Préciser les coefficients de ce développement.
5.2. Donner une expression simple de
5.3. Trouver un équivalent de
Exercice 3.
Soit
Soit
Soit
Question 1.
- Déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de
.
On note
2. La matrice
3. Soit
2. La matrice
3. Soit
Montrer que
Préciser tous les éléments générateurs du groupe
4. Déterminer la dimension et une base de
5. Calculer la trace d'un élément de
Préciser tous les éléments générateurs du groupe
4. Déterminer la dimension et une base de
5. Calculer la trace d'un élément de
Question 2.
Soit le polynôme
- Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice
est :
- Vérifier que :
.
Question 3.
On se propose dans cette question de déterminer l'inverse de la matrice
- Prouver que :
. - En déduire qu'il existe des scalaires
tels que : . - Montrer que :
. - Prouver que :
- En calculant de deux façons différentes la trace de la matrice
, déterminer la valeur de . 6. En déduire .