Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Exercice I

Soit

un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté

.
On note || || la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.

Pour tout

, endomorphisme de

, on note

son endomorphisme adjoint, c'est-à-dire l'unique endomorphisme vérifiant :

On dit qu'un endomorphisme

est un projecteur s'il vérifie

. On dit que le projecteur

est strict si

n'est ni l'endomorphisme nul, ni l'identité

Un projecteur

est dit orthogonal si les sous-espaces vectoriels

sont orthogonaux.

Soit un projecteur de .
(a) Démontrer que .
(b) Dans le cas où est un projecteur orthogonal, démontrer que :
i. Tout vecteur dans vérifie : . Dans quel cas a-t'on l'égalité ?
ii. Tout vecteur dans vérifie : . Dans quel cas a-t'on l'égalité ?
(c) Démontrer que est un projecteur orthogonal si et seulement si .
On considère ici le cas particulier du plan euclidien : .
(a) Soit . Démontrer que est la matrice d'un projecteur strict orthogonal sur une base orthonormée de si et seulement si et .
(b) Qu'impose cette dernière égalité pour la valeur ?
(c) Soit la matrice d'un projecteur strict orthogonal sur une base orthonormée de . Exprimer le produit de matrices :

Justifier que la matrice

est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle

.
(d) Soient

deux projecteurs stricts orthogonaux sur

. Démontrer que l'endomorphisme

est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle

.
3. Soient

deux projecteurs stricts orthogonaux sur un espace euclidien

de dimension

.
(a) Déterminer l'endomorphisme adjoint de

. En déduire que l'endomorphisme

est diagonalisable sur une base orthonormée (on citera précisément le théorème utilisé) et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle

.
(b) Démontrer que le sous-espace vectoriel

est stable par l'endomorphisme

.
(c) Démontrer que le sous-espace vectoriel

est stable par l'endomorphisme

et que celui-ci induit sur

un endomorphisme diagonalisable dont les valeurs propres sont dans l'intervalle

.
(d) Soit

le sous-espace vectoriel

. On note

son orthogonal dans

. Démontrer que

. Que vaut l'endomorphisme

sur

?
(e) Démontrer que l'endomorphisme

est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes dans l'intervalle

.
(f) Soit

le rang de

. Démontrer que

. Etudier le cas d'égalité.

Exercice II

Etant donné un entier naturel non nul

désigne la

-algèbre des matrices

à coefficients dans

. On désigne par

la matrice identité de

.
Etant donnée une matrice

dans

, on note

son polynôme caractéristique.

sont quatre matrices dans

, on note

la matrice de

définie par blocs par :

Soient cinq matrices dans .
(a) Exprimer la matrice produit .
(b) On suppose la matrice inversible. Justifier l'égalité :

On suppose que les matrices et commutent.
(a) On suppose que la matrice est inversible. Démontrer que .
(b) On ne suppose plus la matrice inversible.
i. Démontrer qu'il existe des matrices et dans telles que le polynôme caractéristique de la matrice vérifie . Expliciter et en fonction des matrices et .
ii. En déduire que .
Dans cette partie, on suppose que et que et sont deux matrices à coefficients réels transposées l'une de l'autre. On désigne la matrice par .
(a) Justifier que est une matrice symétrique positive et que ses valeurs propres sont toutes des nombres réels positifs ou nuls.
(b) Exprimer le polynôme en fonction du polynôme .
(c) Soit une matrice symétrique dans . Démontrer que est définie positive (i.e. tout vecteur non nul de vérifie ) si et seulement si les valeurs propres de sont toutes .
(d) En déduire que la matrice est symétrique définie positive si et seulement si les valeurs propres de la matrice sont toutes .
On considère la suite de matrices définies par récurrence par :

(a) Soit

. Déterminer une relation de récurrence entre

.
(b) Soit

. Exprimer

en fonction de

.
(c) Soit

. Exprimer le polynôme caractéristique de la matrice

, en fonction de

.
(d) Soit

. Déterminer les valeurs propres de la matrice

Exercice III

Soit

le plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé direct

Soit la droite et la droite de vecteur directeur passant par le point . Soit le cercle tangent à en 0 et tangent à en . Soit . Soient le point sur la droite d'abcisse et l'intersection de la droite et du cercle autre que le point .
(a) Que peut-on dire du triangle ?
(b) Déterminer l'équation cartésienne du cercle et l'équation cartésienne de la droite .
(c) En déduire que le point a pour coordonnées .
(d) Quelles sont les coordonnées du vecteur ?
Pour non nul, on note le point tel que ; on pose .
(a) Représenter la courbe lieu des points lorsque parcourt . On précisera les éventuelles asymptotes.
(b) Préciser la nature du point de .
(c) Calculer l'aire comprise entre la courbe et la droite .
Si est un nombre complexe, on note son conjugué. On considère l'application définie sur le plan privé du point par : l'image par du point d'affixe est le point d'affixe .
(a) Soit un point de distinct de l'origine et soit . Calculer le produit scalaire .
(b) Soit non nul. Déterminer les coordonnées du point , image par du point défini dans la question 2.
(c) Quelle est l'image par de la courbe ?