est l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur et à valeurs dans . est le sous-ensemble de formé des fonctions telles que l'intégrale impropre

converge pour tout .

Plus généralement, soit , montrer que converge pour tout x appartenant à .
b) Soit appartenant à , l'intégrale impropre existe-t-elle?
c) En déduire des exemples de fontions appartenant à .
2. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
3. Soit :

où pour tout x appartenant à .
a) Montrer que est une application linéaire.
b) Montrer que est de classe sur et que :
c) est-ele injective?
d) Montrer que, si est un vecteur propre de alors est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants .
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .
e) Soit , bornée et de classe sur , montrer que la dérivée de appartient à , et que .
4. Soient et le -espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à .
a) Montrer que .
b) Soit la restriction de à .
(i) Montrer que est un endomorphisme de .
(ii) Est-ce un automorphisme de ?
(iii) est-il diagonalisable?
c) Soit . Montrer que si il existe tel que pour tout , alors :

pour tout . ( désignant la dérivée de la fonction polynôme )

Soient : et
Soit l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .

d'inconnue , matrice carrée d'ordre trois à coefficients réels.
a) Montrer que si la matrice est solution de , alors et commutent.
b) En déduire que l'équation ( ) est équivalente à l'équation ( ) d'inconnue matrice carrée d'ordre trois diagonale :

c) Résoudre l'équation ( ), puis déterminer les solutions de ( ).

E est un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormal de sens direct . On choisit comme pôle et comme axe polaire; est un réel strictement positif.

a) Montrer que : sont des équations paramétriques de .
b) Montrer que la tangente à en le point de paramètre a pour équation :

c) Montrer que cette tangente recoupe en deux points de paramètre et de paramètre si et seulement si et alors .

On considère les tangentes à en ces points et ; montrer qu'elles se coupent en le point de coordonnées ( ) si et seulement si et sont racines de :

et alors la troisième racine est
d) En déduire que l'ensemble des points d'intersection lorque décrit est inclus dans la courbe dont une équation est :

e) Reconnaître et déterminer les éléments remarquables de cette courbe. La représenter dans le repère orthonormal .